第2章 光纤传输基本理论

第2章光纤传输基本理论第2章光纤传输基本理论2.1光纤传输基本方程及解2.2多模光纤的光传输特性2.3单模光纤的光传输特性2.4光纤传输中的非线性现象第2章光纤传输基本理论2.1光纤传输基本方程及解由于任何光信号都可分解成具有一定相对关系的单色光的组合，为了得到光纤传输的特性，我们需要导出在单色光输入情况下光纤的输出特性。本节分析光纤中光的传输特性。第2章光纤传输基本理论2.1.1麦克斯韦方程与波动方程光信号在光纤中的传输由麦克斯韦方程描述，可写(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)0ffBrtErttDrtHrtJrttDrtrtBrt(2.1)第2章光纤传输基本理论式中,E(r,t)、H(r,t)分别为电场强度矢量和磁场强度矢量；D(r,t)、B(r,t)分别为电位移矢量和磁感应强度矢量；Jf(r,t)为电流密度矢量，ρf(r,t)为电荷密度分布，是电磁场的源。当介质内传输的电磁场强度E(r,t)和H(r,t)增大时，电位移矢量D(r,t)和磁感应强度矢量B(r,t)也随之增大，它们的关系通过物质方程联系起来D(r,t)=ε0E(r,t)+P(r,t)B(r,t)=μ0H(r,t)+M(r,t)(2.2)第2章光纤传输基本理论式中,ε0为真空中的介电常数，μ0为真空中的磁导率；P(r,t)、M(r,t)分别为感应电极化强度和磁极化强度。对光纤这种无自由电荷的非磁性介质，Jf(r,t)=0，ρf(r,t)=0，M=0，感应电极化强度可表示为P(r,t)=PL(r,t)+PNL(r,t)(2.3)第2章光纤传输基本理论式中,PL为电极化强度的线性部分，PNL为电极化强度的非线性部分，它们与电场强度的关系为00123123123(,)()(,)(,)(,,)(,)(,)(,)NNLPrtttErtdtPrtttttttErtErtErtdtdtdt(2.4)第2章光纤传输基本理论在本节，我们只考虑光纤为线性介质的情况，非线性问题留在本章第4节中讨论。假设光纤为各向同性介质，则D(r,t)=εE(r,t)=ε0(1+χ(1))E(r,t)B(r,t)=μH(r,t)(2.5)第2章光纤传输基本理论考虑上面所提到的光纤的一些特性，光信号在光纤中传输的麦克斯韦方程可简化为(,)(,)(,)(,)(,)0(,)0HrtErttErtHrttErtHrt(2.6)第2章光纤传输基本理论考察输入为单色光的情况，光纤中任一点上的光信号的场强分布可表示为E(r,t)=E(r)exp(-ωt)H(r,t)=H(r)exp(-ωt)(2.7)将上式代入式（2.6），并作适当的变换可得220220(()()()0()(()()()0ErErEHHrHr(2.8)第2章光纤传输基本理论实际使用的光纤一般是弱导光纤，即纤芯和包层的折射率非常接近，ε在一个波长的空间范围内的变化非常缓慢，上式中的ε/ε可以忽略不计，则有22202220()()0()()0ErknErHrknHr(2.9a)(2.9b)第2章光纤传输基本理论其中，k0=2π/λ，是自由空间波数，λ是波长，n=(εμ)1/2是介质的折射率。这就是描述光纤中光场分布的基本方程，称为波动方程或亥姆霍兹方程。这是一个矢量方程，n只有在均匀介质中才是常数。第2章光纤传输基本理论2.1.2波动方程的近似解根据光纤的具体结构，利用上述矢量波动方程，原则上是可以得到某些少数特定结构的光纤中光场的精确分布。但方法烦琐，结果复杂，利用这些结果去分析光纤的色散特性很困难。本节我们通过一种标量的近似解法结合阶跃光纤进行求解。给出一些物理意义明确的结果。第2章光纤传输基本理论我们知道，对通信用光纤，纤芯、包层折射率相差很小，Δ1。在这种情况下，纤芯、包层界面上全反射角的临界角接近90°，光纤中导行波的射线几乎是与光纤轴平行传播的。这种波接近TEM波。电磁场的轴向分量很小，横向分量占优势，该横向场的极化方向在传播过程中基本保持不变，横向电场和磁场之间的关系可用波阻抗Z=(μ0/ε)1/2来表示。第2章光纤传输基本理论现在我们近似假定横向场的极化方向保持不变，这样就可用一个标量来描述它，它将满足标量亥姆霍兹方程。由此我们可以通过解该横向场的标量亥姆霍兹方程求得解答。这种方法叫标量近似分析法。可以看出，标量近似分析法是以n1≈n2为前提的。下面我们将用标量近似分析法推导出场方程、特征方程，介绍标量解的模式分布，讨论各模式的传输特性及光纤中的功率分布等。第2章光纤传输基本理论1.标量场方程由于假定了弱导波光纤中的横向场的极化方向保持不变，采用直角坐标系来表示场分量比较方便，因此，分析问题时将同时采用直角坐标系和圆柱坐标系，如图2.1所示。假定折射率为n2的包层无限大，在后面我们将看出该假设的合理性。第2章光纤传输基本理论图2.1光纤坐标axyzn20rn1araz第2章光纤传输基本理论选横向场的极化方向与y轴一致，即电场只有y分量，x分量为零，则式（2.9a）变为(2.10)解此方程并满足纤芯、包层交界面上的边界条件，就可得到光纤的标量解。将式（2.10）写到圆柱坐标系中，得到2220()()0yyErknEr2222202222()()()()11()0yyyyyErErErErknErrrrr(2.11)第2章光纤传输基本理论根据光纤截面折射率分布的圆柱对称性和轴向平移不变性，在以光纤轴线为轴的柱坐标系统中，光纤中光场的分布应有下列形式Ey(r,θ,z)=R(r)cosmθexp(jβzt)(2.12)这里βz是z方向的传播常数，如果z方向有能量损失，则βz是复数，虚数部分代表单位距离的损失，实数部分代表单位距离相位的传播。将式（2.12）代入式（2.11），整理后得第2章光纤传输基本理论上式中第一个式子是m阶贝塞尔方程，第二个式子是变质的贝塞尔方程。m、βz对应着方程的某一种解，表示光场的某种特定分布，这种特定分布通常称为某种模式。为了方便起见，引入两个有用的参量，令222220122222220222()1()()()0()()1()()()0()zzdRrdRrmknRrradrrdrrdRrdRrmknRrradrrdrr(2.13)第2章光纤传输基本理论u叫做导波的径向归一化相位常数，w叫做导波的径向归一化衰减常数。它们各表示在纤芯和包层中导波场沿径向的变化情况。下面分析场方程的解。在纤芯内，R(r)的解应是贝塞尔函数的组合22222102222220()()zzuankank(2.14)()()()mmuuRrAJrBYraa(2.15)第2章光纤传输基本理论其中，Jm为贝塞尔函数，Ym为聂曼函数。R(r)在纤芯处应为驻波解，由于Ym(0)为无穷大，与场的实际情况不符，因此B为0。在包层内，R(r)的解应是修正贝塞尔函数的组合()()()mmRrCIrDKraa(2.16)第2章光纤传输基本理论其中，Im和Km分别为第一类和第二类修正的贝塞尔函数。R(r)在包层中随r的增加应减小，是衰减解，而Im在r趋近无穷时也趋于无穷，所以C应为0。于是R(r)可写为()()()mmuAJrraaRrDKrraa(2.17)第2章光纤传输基本理论J与K两种函数的曲线示于图2.2中。利用上式，光纤中Ey的表示式可写成()()(,,)sin()()zmmjzymmuJraraJuErzeAnKraraK(2.18)第2章光纤传输基本理论在推导上式中利用了纤芯界面上的边界条件，Eθ1=Eθ2，简化掉了一个常数。横向磁场只包含Hx分量，根据Ey可写成110220()sin()(,,)()sin()zzmyjzmxmyjzmuJrEnaeAmraZZJuHrzKrEnaeAmraZZK(2.19)第2章光纤传输基本理论图2.2贝塞尔函数和修正的贝塞尔函数图形1.00.50－0.5024681012J0(x)J1(x)J2(x)J3(x)x(a)2.01.81.61.41.21.00.80.60.40.20012345(b)xK0(x)K1(x)第2章光纤传输基本理论从麦克斯韦方程，可求出Ez和Hz的表示式：111101122()()cos(1)cos(1)()()(,,)2()()cos(1)cos(1)()()zmmmmjzzmmmmuuJrJruuaammnJunJujAErzeuKaKrKraammnKunKr≤a(2.20)r≥a第2章光纤传输基本理论110011()()sin(1)sin(1)()()(,,)2()()sin(1)sin(1)()()zmmmmjzzmmmmuuJrJraaumumJuJujAHrzeKaZKrKraammKKr≤ar≥a(2.21)第2章光纤传输基本理论比较场的轴向和横向分量的大小，可以发现，弱波导光纤的轴向分量比横向分量的值小得多。因为轴向分量的表示式中含有u/aK0和w/aK0，而2222210120022222201200zzankunnaKaKanknnaKaK(2.22)它们都在Δ数量级。所以合成场基本在光纤横截面上，近似一个TEM波。第2章光纤传输基本理论2.标量解的特征方程根据边界条件可以导出特征方程，前面在求解场的横向分量的表示式时已用了纤芯界面上场的角向分量连续的条件，现在再用界面上轴向分量连续的条件。在r=a处，Ez1=Ez2，则11111122()()sin(1)sin(1)()()()()sin(1)sin(1)()()mmmmmmmmuJuuJummnJunJuKKummnKnKu(2.23)第2章光纤传输基本理论11111()()()()()()()()mmmmmmmmuJuKnJuKJuKuJuK(2.24)利用弱导条件，上式可写成下面两个式子第2章光纤传输基本理论1)LPmn模的截止条件我们先简单分析一下光纤中传输的导行波的特性。考察包层中的电场，我们有()YmEKra(2.25)根据修正贝塞尔函数的特性，上式近似为rayaECer(2.26)第2章光纤传输基本理论式中，C为比例常数。从上式可以看出，当w20时(即w为实数时)，场在纤芯外呈指数衰减型，在r相当大处，E(r)趋于零。这时光波封闭在光纤中传输，对应为传导模。根据式（2.14），若(2.27)2222220()0zank第2章光纤传输基本理论w成为虚数，包层中的场将成振荡型，而振幅不减小，意味着光能向外辐射，这时的光场为辐射模式。显然，w=0刚好是传导模和辐射模的分界处，将wc=0定义为传导模的截止条件。下面考察截止这种极端情况下特征方程的解。首先我们引入一个有用的参量——归一化频率，定义为2222222012()Vuaknn(2.28)第2章光纤传输基本理论它与光纤的参数和传导光波的波长有关，在wc=0时，Vc=uc，分别称为归一化截止频率和归一化截止相位常数。显然，在截止条件下得到的特征函数的解uc就是所对应模式的截止条件Vc。在截止条件下，w=0，Km(w)近似为02()ln012()()(1)!()02mmmKmKKmm(2.29)第2章光纤传输基本理论可以证明，特征方程（2.23）的右