常见追及与相遇问题类型及其解法

1/8追及与相遇问题追及问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题，它往往涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同.对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景.借助于v－t图象来分析和求解往往可使解题过程简捷明了.知识要点：一、相遇是指两物体分别从相距S的两地相向运动到同一位置，它的特点是：两物体运动的距离之和等于S，分析时要注意：（1）、两物体是否同时开始运动，两物体运动至相遇时运动时间可建立某种关系；（2）、两物体各做什么形式的运动；（3）、由两者的时间关系，根据两者的运动形式建立S=S1+S2方程；二、追及问题（1）、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。若甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离。若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离。若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离。2、追及问题的特征及处理方法：“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：⑴速度小者匀加速追速度大者,一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速度，即vv乙甲。⑵匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。①若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。②若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上。③若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。⑶速度大者匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟⑵类似。三、分析追及问题的注意点：⑴追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件，往往是解决问题的重要条件⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意vt图象的应用。例题分析：1．一车处于静止状态,车后距车S0=25m处有一个人,当车以1m/s2的加速度开始起动时,人以6m/s的速度匀速追车,能否追上?若追不上,人车之间最小距离是多少?2/82．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以３m/s２的加速度开始行驶，恰好此时一辆自行车以６m/s速度驶来，从后边超越汽车．试求：①汽车从路口开动后，追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？②经过多长时间汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？3．公共汽车从车站开出以4m/s的速度沿平直公路行驶，2s后一辆摩托车从同一车站开出匀加速追赶，加速度为2m/s2。试问（1）摩托车出发后，经多少时间追上汽车？（2）摩托车追上汽车时，离出发点多远？（3）摩托车追上汽车前，两者最大距离是多少？4、火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以速度v2做匀速运动，已知v1＞v2司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，加速度a的大小应满足什么条件？5、某人骑自行车以4m/s的速度匀速前进，某时刻在他前面７m处以10m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，而以２m/s2的加速度减速前进，求：①自行车未追上前，两车的最远距离；②自行车需要多长时间才能追上汽车．6.某人骑自行车以8m/s的速度匀速前进，某时刻在他前面8m处以10m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，而以２m/s2的加速度减速前进，求：①自行车未追上前，两车的最远距离；②自行车需要多长时间才能追上汽车．3/8课后练习：1、一列快车正以20m/s的速度在平直轨道上运动时，发现前方180m处有一货车正以6m/s速度匀速同向行驶，快车立即制动，快车作匀减速运动，经40s才停止，问是否发生碰车事故？（会发生碰车事故）2、同一高度有AB两球，A球自由下落5M后，B球以12M/秒竖直投下，问B球开始运动后经过多少时间追上A球。从B球投下时算起到追上A球时，AB下落的高度各为多少？（g=10m/s2）（2.5秒；61.25M）3、如图所示，A、B两物体相距ｓ＝7ｍ，物体A在水平拉力和摩擦力作用下，正以ｖ1＝4m/s的速度向右运动，而物体B此时的速度ｖ２＝10ｍ/ｓ，由于摩擦力作用向右匀减速运动，加速度a＝－2m/s2，求，物体A追上B所用的时间。（2.67s）ＡＢＦｖ１ｖ２ｓ4/84、羚羊从静止开始奔跑，经过50m能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持此速度4.0s.设猎豹距离羚羊xm时开时攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？解读：先分析羚羊和猎豹各自从静止匀加速达到最大速度所用的时间，再分析猎豹追上羚羊前，两者所发生的位移之差的最大值，即可求x的范围。设猎豹从静止开始匀加速奔跑60m达到最大速度用时间t2，则1112tvs，svst4306022111羚羊从静止开始匀加速奔跑50m达到最大速度用时间t1，则2222tvs，svst4255022222猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，则猎豹减速前的匀速运动时间最多4s，而羚羊最多匀速3s而被追上，此x值为最大值，即x=S豹－S羊=[（60＋30×4）－（50＋25×3）]=55m，所以应取x55m。5、高为h的电梯正以加速度a匀加速上升，忽然天花板上一颗螺钉脱落．螺钉落到电梯底板上所用的时间是多少？解读：此题为追及类问题，依题意画出反映这一过程的示意图，如图2—27所示．这样至少不会误认为螺钉作自由落体运动，实际上螺钉作竖直上抛运动．从示意图还可以看出，电梯与螺钉的位移关系：S梯一S钉=h式中S梯＝vt十½at2，S钉＝vt－½gt2可得t=agh/2错误：学生把相遇过程示意图画成如下图，则会出现S梯＋S钉=h式中S梯＝v0t十½at2，S钉＝v0t－½gt2这样得到v0t十½at2＋v0t－½gt2=h，即½（a－g）t2＋2v0t－h=0由于未知v0，无法解得结果。判别方法是对上述方程分析，应该是对任何时间t，都能相遇，即上式中的Δ＝4v02＋2（a－g）h≥0也就是v0≥2/hga，这就对a与g关系有了限制，而事实上不应有这样的限制的。V0、a5/8参考答案：1、S人-S车=S0∴v人t-at2/2=S0即t2-12t+50=0Δ=b2-4ac=122-4×50=-560∴方程无解.人追不上车当v人=v车=at时,人车距离最小t=6/1=6sΔSmin=S0+S车-S人=25+1×62/2-6×6=7m2、1．解一：速度关系，位移关系自汽vatvt=2s)(62321262122mattvs自解二：极值法(1)2223621ttattvs自由二次函数的极值条件可知st2)2/3(26时，s最大)(6223262msm(2)汽车追上自行车时，二车位移相等2''21atvtstvt43622'smatv/1243''解三：用相对运动求解选匀速运动的自行车位参照物，则从运动开始到相距最远,这段时间内,起初相对此参照物的各个物理量为初速smvvv/6600自汽初末速066自汽末vvvt加速度2/303smaaa自汽相距最远mavvst632)6(022202(负号表示汽车落后)解四：图象求解(1)savt236自matvst62321262122vV自V汽6t’ttv6/8(2)stt42'smvv/122'自3、解：开始一段时间内汽车的速度大，摩托车的速度小，汽车和摩托车的距离逐渐增大，当摩托车的速度大于汽车的速度后，汽车和摩托车的距离逐渐减小，直到追上，显然，在上述过程中，摩托车的速度等于汽车速度时，它们间的距离最大。（1）摩托车追上汽车时，两者位移相等，即v(t+2)=21at2解得摩托车追上汽车经历的时间为t=5.46s(2)摩托车追上汽车时通过的位移为s=21at2=29.9m(3)摩托车追上汽车前，两车速度相等时相距最远，即v=at/t/=av=2s最大距离为△s=v(t/+2)-21at/2=12m小结：求解追及问题要注意明确三个关系：时间关系、位移关系、速度关系，这是我们求解列方程的依据，涉及临界问题时要抓住临界条件。4、解法一：由分析运动过程入手后车刹车后虽做匀减速运动，但在速度减小到和v2相等之前，两车的距离将逐渐减小；当后车速度减小到小于前车速度，两车距离将逐渐增大。可见，当两车速度相等时，两车距离最近。若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍为追上前车，若后车加速度大小为某一值时，恰能使两车速度相等时后车追上前车，这是两车不相撞的临界条件，其实对应的加速度即为两车不相撞的临界最小加速度。综合以上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列方程：v1t-21a0t2=v2t+svt-a0t=v2联立上式可解得：a0=svv2)(212所以不a≥svv2)(212时时两车即不会相撞。解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为v1t-21at2≤s+v2t即21at2+(v2-v1)t+s≥07/8对于位移s和时间t,上面不等式都成立的条件为△=(v2-v1)2-2as≤0由此得a≥svv2)(212解法三：以前车为参考系，刹车后后车相对于前车做初速度v0=v1-v2、加速度为a的匀减速直线运动，当后车相对前车的速度为零时，若相对位移s/≤s时，则不会相撞。由s/=av220=avv2)(212≤s得a≥svv2)(212小结：上述三种解法中，解法一注重了对物体运动过程的分析，抓住两车间距离有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次不等到式（一元二次方程）运用数学知识，利用根的判别式△=b2-4ac来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过巧妙选取参考系，使两车的运动变为后车相对于前车的运动，运算简明。5、解：①当v汽＝v车时，有最远距离msss1621044221001677自汽②7汽自ss721201attvtv（错解）５s末汽车已停下t1=7s应判断在追上前汽车是否已经停下t1＇=－１s(舍)经５s汽车停下且走了２５m，而s自=20m,207+25相遇是在汽车停止后，s自＝７＋２５＝３２（m）t＝３２／４＝８（s）若s自＝８m/s，s＝８m，何时相遇，相遇时v汽＝？sss汽自t=4s8t=10t－t2+8t=－2s(舍)6、6、解：①当v汽＝v车时，有最远距离msss1621044221001677自汽②7汽自ss721201attvtv（错解）５s末汽车已停下v汽＝２m/s8/8t1=7s应判断在追上前汽车是否已经停下t1＇=－１s(舍)经５s汽车停下且走了２５m，而s自=20m,207+25相遇是在汽车停止后，s自＝７＋２５＝３２（m）t＝３２／４＝８（s）7、在平直公路上，一辆摩托车从静止出发追赶正前方100m处正以v0=10m/s的速度速度前进的卡车，若摩托车的最大速度为20m/s,现要摩托车在2min内追上上卡车，求摩托车的加速度为多大？解读：设摩托车在2min内一直加速追上了卡车，它的位移s1同汽车的位移s2的关系为s1=s2+s0即21a/t2=v0t+s0其中t=2min=120s,vo=10m/s,s0=100m解得a/=7213m/s2若以加速度运动2min,摩托车的未速度为v