参数方程与普通方程的互化

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数①并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.(),().xftygt参数方程2222222.1xyr ().2,,xaybr ().xrcosyrsinxarcosybrsin圆的参数方程圆的参数方程通常写为为参数圆的参数方程通常写为为参数22222125,2,4,1,1:1a1.21,Cx12t,tyt,y),x142,.122.1,(yttataxtytxx解由题意可得解得由可知曲线的参数方程为由得代入得即为所求典例剖析(学生用书P26)21:C(t,aR),M5,4.1a;2C.12,xtyat例已知某条曲线的参数方程为其中为参数点在该曲线上求常数求曲线的普通方程3,21:(2007?)xOy,l(tR),C(0,32,2),C________,l.2xtxcosytysin变式广东高考在直角坐标系中直线的参数方程为参数圆的参数方程为参数则圆的圆心坐标为圆心到直线的距离为_________(0,2)2222:,xy24,0,2.2,223txy,3,|026|226,.2xcosysinxtyt解析由消去参数得得圆心坐标为由消去得那么圆心到直线的距离为22:,. (12(1)21(2)11);(t).xsinysincosxtytt例化下列参数方程为普通方程并作出曲线的草图为参数为参数分析:观察题目的特点.(1)可用代入消元法.(2)可用加减消元法,在转化过程中要保证等价性.222111,22211.22,2].2:1ysincos2422.111sin212x,sin2xsincossin()[yy2(xxy.1.1)(,22).222b解由≤≤≤≤≤≤故所求的普通方程为≤≤≤≤其图形是抛物线的一部分如图所示2222222221111()(1)1.12xy0,xyxy1.(0x1,0y11x0,1y0).,2.0.txttttt由又≥故所求的普通方程为≤≤或≤≤其图形是两段圆弧如图12•32:,.1(t);42?().xtxcossinysincosyt变式化下列曲线的参数方程为普通方程并指出它是什么曲线为参数为参数222:1x12y3y2x5x1,.2xcossinsin(x[x12sincos,sin?cos2,1.422,4322,2).2,2].41y,x121(22)2y.xx.2ttxtxtxy解即≥它表示一条射线将代入得普通方程为≤≤是抛物线的一部分例4:设P(x,y)是圆x2+y2=2y上的动点;(1)求2x+y的取值范围;(2)若x+y+c≥0恒成立,求实数c的取值范围.22:xy11,12xy2cossin1sin1(tan2).1sin1,12xy12xyc0,cxysincos1R.(sincos1)in()1c1,x,1.555.221.4y2xcosysins解圆的方程为其参数方程为其中≤≤≤≤若≥恒成立即≥对一切成立而≤当且仅当≥时c0.≥恒成立规律技巧:像本例求x,y的代数式的取值范围时,常把普通方程化为参数方程,利用三角函数的值域求解.变式4:已知圆(x-1)2+(y-1)2=4上任意一点P(x,y),求x+y的最值.2212,12:x1y14().xy22(222)sincos)sin(xy.422.22.22xcosysin解圆的参数方程为为参数的最大值为最小值为参数方程与普通方程的互化1、导入新课同学们，请回答下面的方程各表示什么样的曲线：)(sin3cos)3(149)2(123)1(222为参数yxyxxxy例：2x+y+1=0直线抛物线椭圆阅读课本24页后，再回答)(sin3cos为参数yx2222sincos)3(yx2222sincos)3(yx1)3(22yx.1),0,3(的圆半径为表示圆心1、通过什么样的途径，能从参数方程得到普通方程？2、在参数方程与普通方程互化中，要注意哪些方面？消去参数必须使x,y的取值范围保持一致.)(21113为参数）（表示什么曲线？普通方程，并说明各、把下列参数方程化为例ttytx2、参数方程化为普通方程)()1,1()1(32,211111包括端点为端点的一条射线这是以得到代入有）由解：（xxytyxttxyxo(1,-1)代入消元法)(21113为参数）（表示什么曲线？普通方程，并说明各、把下列参数方程化为例ttytx)(2sin1cossin2为参数）（yx2、参数方程化为普通方程这是抛物线的一部分。得到平方后减去把所以].2,2[,2sin1cossin],2,2[),4sin(2cossin)2(2xyxyxxxoy22三角变换消元法步骤：1、写出定义域（x的范围）2、消去参数(代入消元，三角变换消元)参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。注意：._____)(sin2cos2{)(11{2个的交点有为参数与曲线则它为参数为若已知直线的参数方程yxttytx、为端点的线段和、以、圆为端点的射线、以、直线轨迹是的则点为参数、若曲线)1,0()0,2(,1)1()0,2(,022)(),(),(sin2cos1{1222DyxCByxAyxyx课堂练习：D2为参数）设（为参数。）设（的参数方程、求椭圆例ttyxyx,22,cos311494223、普通方程化为参数方程1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分？)(sin2cos3{149,sin2sin2sin4)cos1(4,149cos9cos312222222为参数的参数方程是所以椭圆的任意性，可取由参数即所以代入椭圆方程，得到）把解：（yxyxyyyyx)(213)(21314913),1(9144922222222222为参数和为参数的参数方程是所以，椭圆于是代入椭圆方程，得）把（ttytxttytxyxtxtxtxty为参数）设（为参数。）设（的参数方程、求椭圆例ttyxyx,22,cos311494223、普通方程化为参数方程1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分？两个解的范围一样只取一个；不一样时，两个都要取.无限个1223xtyt41xkyk（09广东（文））若直线（t为参数）垂直，则常数=______.与直线高考链接-6课堂小结：（1）写出定义域（x的范围）（2）消去参数(代入消元，三角变换消元）1、参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。注意：2、普通方程化为参数方程的步骤把含有参数等式代入即可3、（汕头市2010年普通高中高三教学质量测评（理））已知点在曲线（为参数，）),(yxPcos2x)2,[上，则的取值范围为______xysiny课后作业：_______)(12coscos{1的取值范围为则有两个交点与直线为参数为若已知曲线的参数方程a，ayyx、_________)4()5(,)(sincos2{),(222的最大值为则一点上任意为参数是曲线、yxyxyxP