第二节 可分离变量的微分方程

1可分离变量的微分方程第二节可分离变量的微分方程小结2如果一阶微分方程等式的每一边仅是一个变量的函数与这个可分离变量的方程)()(ygxfy()d()dfxxgyy或可以写成0),,(yyxF的形式,特点变量的微分之积.两端积分可得通解.一、可分离变量的微分方程3可分离变量的方程求通解的步骤是:分离变量,两边积分其中C为任意常数.),(Cxyy就是方程的通解分离变量法.的形式；把方程化为xxyyd)(d)(1.2.由上式确定的函数(隐式通解).这种解方程的方法称为将上式;d)(d)(+Cxxyy4例求方程的通解.0d)1(d)1(22++yxyxyx解分离变量xxxyyyd1d122++两端积分+yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy++Cln21++xxxd125)1ln(21)1ln(2122xy++)1(ln)1ln(22xCy++)1(122xCy++为方程的通解.Cln21+隐式通解6解xxyyyd1dln1xxyyd1lndln1Cxylnlnlnln+CxlnCxylnCxey通解为.ln的通解求方程yyyx7随时间t变化的规律.求衰变过程中铀含量M(t)解,ddtM由题设条件)0(dd衰变系数MtMtMMdd,ddtMM,lnlnCtM+即分离变量,tCeM通解例衰变问题.衰变速度与未衰变原子含量M成正比,,00MMt已知衰变速度8,ddtMM,00MMt代入,lnlnCtM+即00CeM得CteMM0,tCeM通解特解衰变规律9例求游船上的传染病人数.一只游船上有800人,12小时后有3人发病.故感染者不能被及时隔离.设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的人数之积成正比.一名游客患了某种传染病,由于这种传染病没有早期症状,直升机将在60至72小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数.,1)0(y初始条件:3)12(y10解用y(t)表示发现首例病人后t小时时的感染人数,)(800ty表示t刻未受感染的人数,由题意,得),800(ddykyty其中k0为比例常数.分离变量,d)800(dtkyyy即,dd800118001tkyyy+两边积分,得,)]800ln([ln80011Cktyy+11,)]800ln([ln80011Cktyy+通解ktCey8001800+).(1800CeC,1)0(y初始条件3)12(y由初始条件,1)0(y得.799C再由,3)12(y便可确定出k800所以.7991800)(09176.0tety+2397799ln121.09176.012.7991800)(09176.0tety+直升机将在60至72小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数.下面计算72,60t小时时的感染者人数)60(y)72(y从上面数字可看出,在72小时疫苗运到时,感染的人数将是60小时感染人数的2倍.病流行时及时采取措施是至关重要的.可见在传染,18879918006009176.0+e.38579918007209176.0+e13有高为1米的半球形容器,解由力学知识得,水从孔口流出的流量为ghStVQ262.0dd水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里流出,例小孔横截面积为1平方厘米(如图).水从它的底部小孔14流量系数孔口截面面积重力加速度ghStVQ262.0dd即0.622dVghdt另外，设在时间间隔[,]ttdt+内，水面高度由,hhdh+降到故22dVrdh2(200)ddVhhh而222100(100)200rhhh15hhhd)200(2,d262.0tgh,d)200(262.0d3hhhgt,)523400(262.053Chhgt+,100|0th,101514262.05gC).310107(265.45335hhgt+所求规律为可分离变量方程0.622dVghdt2(200)ddVhhh16可分离变量的微分方程分离变量两端积分二、小结解法:隐式(或显式)通解17作业习题7-2(304页)1.(6)(8)2.(1)(5)6.