第二节 多元函数的偏导数

一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数第二节偏导数定义1.),(yxfz在点存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为),(00yx的某邻域内;),(00yxxf0xx0x则称此极限为函数极限设函数x;),(00yxxz.),(001yxfxyxfyxxfx),(),(lim0000000(,)xfxy注意:一、偏导数定义及其计算法同样可定义对y的偏导数lim0y),(00yxfy若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,),(,),(2yxfyxfy),(0xf),(0xfy记为0yy0y或y偏导数存在,,,,yzyfyz例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.xxx(,,)?yfxyz(,,)?zfxyzx偏导数定义为二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线yTM0在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线yxz0xyToxT0y0M对y轴的例1.求223yyxxz解法1:xz)2,1(xz解法2:)2,1(xz在点(1,2)处的偏导数.)2,1(yz,32yxyzyx23)2,1(yz462xx1xz231yy2yz例2.设，）且1,0(xxxzyzyzxxzyx2ln1证:yzxxzyxln1例3.求的偏导数.解:xr求证z22222zyxx2rxrzzr偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:1pTTVVp证:,VTRp,pTRVpTTVVp说明:(R为常数),Vp2VTRTVpRVpTR1不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,例5.求3zxy在点(0,0)处的偏导数.例6.求22zxy在点(0,0)处的偏导数.242,()(0,0)(,)0,()(0,0)xyxyzfxyxyxy，，例7.求在点(0,0)处的偏导数.函数在某点各偏导数都存在,显然例如0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz00注意：但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx)(xzy),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶)(yyxznn1偏导数为yxe22例8.求函数yxez2.23xyz解:xz22xz)(223xyzxxyzyzxyz2yxz222yz注意:此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二阶偏导数及0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0,0(),0(lim0),(yxfy例9),(yxfx)0,0(yxfxfxffyyxxy)0,0()0,(lim)0,0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0,022yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022yx0,222222yxyxyxyx0,022yx,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等(证明略)例10.证明函数满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：22xu利用对称性,有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程31rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0内容小结1.偏导数的概念及有关结论•定义;记号;几何意义•函数在一点偏导数存在函数在此点连续•混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法•求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义•求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)谢谢！