动量矩和动量矩守恒定律

理学院王瑞敏一.动量矩(角动量)1.质点的动量矩(对O点)vmrPrLO其大小sinsinvmrrpLO特例：质点作圆周运动vmrrpL§6.3动量矩和动量矩守恒定律OLOrPS惯性参照系西安交通大学理学院王瑞敏例:质点做匀速圆周运动012PPP012LLLPp1r1r2p2(2)当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O的动量矩也称为质点对过O垂直于运动平面的轴的动量矩O'LO(3)质点对某点的动量矩,在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩OLOrPS西安交通大学理学院王瑞敏(1)质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关说明•刚体的动量矩西安交通大学理学院王瑞敏刚体上任一质点对Z轴的动量矩都具有相同的方向kkvZkkkkkZJrmrmL2imirivOZ例一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C分别为三个参考点,此时m相对三个点的距离分别为d1、d2d3求此时刻质点对三个参考点的动量矩vmdLA1vmdLB10CLmd1d2d3ABCv解解：21LLL2mRJ)21(22mRMR例：?L求MmR西安交通大学理学院王瑞敏二.动量矩定理1.质点vmrL0)(dddddd0vvmtrmtrtL0ddvvvmmtrOOMFrtLdd积分形式:112221dvvmrmrtMLtt(质点动量矩定理的微分形式)西安交通大学理学院王瑞敏12d21LLtMtt(质点动量矩定理的积分形式)质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量2.刚体说明(1)冲量矩是质点动量矩变化的原因(2)质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果西安交通大学理学院王瑞敏JLZZJttLddddZZMJ积分形式:ttZtZtZtMJJ00d)()(定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量例:子弹以v0射入木板,以v射出,求：(1)板受到的冲量;(2)板得到的角速度.解:(1)I=－m（v－v0）(2)021JMdtttmv0vLJ西安交通大学理学院王瑞敏JLmJLI)(0vvJLIFdtLFLdttttt2121三.动量矩守恒定律当时,质点:刚体:112221dvvmrmrtMLttttZtZtZtMJJ00d)()(2211vvmrmr2211JJ西安交通大学理学院王瑞敏0MCL点过OFFM00（1）守恒条件讨论（2）动量矩守恒定律不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用（3）由动量矩守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律tSmtrrm2sin212sinrtrmsinrmLvSdmrrd行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积西安交通大学理学院王瑞敏(4)变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元)转动的角速度相同，则变形体对该轴的动量矩tJrmkk2当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒常量ωtJtJωtJω如：花样滑冰跳水芭蕾舞等西安交通大学理学院王瑞敏猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？西安交通大学理学院王瑞敏当飞船静止于空间距行星中心4R时，以速度v0发射一求θ角及着陆滑行的初速度多大？mRMO0v0rv解引力场（有心力）质点的动量矩守恒系统的机械能守恒Rmsrmvvin00RGMmmrGMmm20202121vvsin4sin000vvvRr21200231/RGMvvv212023141sin/RGMv例发射一宇宙飞船去考察一质量为M、半径为R的行星，质量为m的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面西安交通大学理学院王瑞敏一长为l的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度v0垂直落到距点Ol/4处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度转动))4(121(4220lmmllmvl0712vO4l昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零，动量矩守恒例解求昆虫沿杆爬行的速度。西安交通大学理学院王瑞敏tJMzzdd)121(22mrmlJztrrmmgrdd2costggtrcos22cosddv)712cos(24lg700tlvv使杆以匀角速度转动cosmgrMZ代入得转动定律tJMzzd)(d其中西安交通大学理学院王瑞敏O4l四.进动（旋进）OLgmMLdΩ高速自转的陀螺在陀螺重力对支点O的力矩作用下发生进动陀螺的动量矩近似为JL动量矩定理tLMddtMLddM//Ld当LM时则只改变方向，不改变大小(进动)L西安交通大学理学院王瑞敏OΩLsinLd进动角速度ΩdsindLL而且ΩLtLtLMsinddsindd所以1sinsinJMLMΩΩ以上只是近似讨论，只适用高速自转，即根据动量矩定理ΩLd西安交通大学理学院王瑞敏