第二章推理与证明复习

推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明数学归纳法间接证明比较法类比推理归纳推理分析法综合法反证法知识结构要点·疑点·考点推理与证明复习2.1.合情推理1推理的概念.由一个或几个事实(假设)得出一个判断的思维方式2推理的构成.前提和结论3推理的分类.合情推理和演绎推理4合情推理的概念.前提为真时.结论可能为真的推理归纳推理和类比推理由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)5归纳推理.归纳推理的几个特点;1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论.需证明⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑶检验猜想。归纳推理的一般步骤：例1:已知数列{an}的第1项a1=1且(n=1,2,3…),试归纳出这个数列的通项公式.nn+1naa=1+aa1=1a2=12a3=13……猜想an=1n例2:计算sin2300+cos2600+sin300cos600=34sin2150+cos2450+sin150cos450=34sin2600+cos2900+sin600cos900=34……sin2θ+cos2(θ+300)+sinθcos(θ+300)=34猜想一般规律例3:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱锥四棱锥三棱柱五棱锥立方体正八面体五棱柱截角正方体尖顶塔46455659866861281261077916910151015F+V-E=2猜想欧拉公式例4:已知数列{an}的中a1=2，an+1=kan+kn+1+(2-k)2n(n=1,2,3…),试归纳出这个数列的通项公式.a2=1×k2+22a1=0×01+11a3=2×k3+23a4=3×k4+24……猜想an=(n-1)×kn+2n(n∈N+)5(2009·湖北卷)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种行状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()CA.289B.1024C.1225D.1378由图形可得三角形数构成的数列通项an=(n+1),同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2,由bn=n2(n∈N*),在区间（1000，1250）中是平方数的只有322，332，342，352，又由an=(n+1)知an必为奇数，故只可能是332或352，经检验只有352==1225.2n2n495026杨辉三角形的前5行是111121133114641试写出第八行，并归纳猜测出一般的规律。7三角形的前5行是122343477451114115试写出第7行，归纳第n行第二个数是多少。__b__ab,a(ba6ba6154415448338333223228均为实数），请推测，，若，，，：已知6359.已知数列{an}的前n项和Sn,且计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.12,3a12(2).nnnSanS12,3S23,4S34,5S456S猜想:12nnSn计算得:10根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有个点.(1)(2)(3)(4)(5)21nn()(0)2xfxxx1()(),2xfxfxx21()(()),34xfxffxx32()(()),78xfxffxx43()(()),1516xfxffxxnN2n1()(())nnfxffx(21)2nnxx11.（2011山东理15）设函数观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，.n2(1)(2)(32)(21)nnnnn12.（2011陕西理13）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第个等式为。在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式,称为类比推理.(简称;类比)1类比推理.2类比推理的几个特点;1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.圆的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r21利用圆的性质类比得出球的性质球的体积34V=πR3球的表面积2S=4πR圆的周长S=2πR圆的面积2S=πR平面向量空间向量①abababab112233(,,)②abababab112233(,,)③aaaaR123(,,)()④abababab112233⑤ababababR112233//,,()⑥abababab1122330若，则aaaa123(,,)bbbb123(,,)ababab1122(,)①1122ababab(,)②aaaR12(,)()③ababab1122④abababR1122//,()⑤ababab11220⑥若，则12aaa(,)bbb12(,)2212||aaa⑦222123||aaaa⑦2利用平面向量的性质类比得空间向量的性质等差数列等比数列定义通项公式前n项和12)nnaadn（()nmaanmd11()2(1)2nnnaaSnnnad1:2)nnaaqn（nmnmaaq11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq1(1)naand11nnaaq3利用等差数列性质类比等比数列性质等差数列等比数列中项性质n+m=p+q时,am+an=ap+aqn+m=p+q时,aman=apaq22nmnmaaa22nmnmaaa任意实数a、b都有等差中项，为2ba当且仅当a、b同号时才有等比中项，为ab232,,mmmmmSSSSS成等差数列232,,mmmmmSSSSS成等比数列下标等差,项等差下标等差,项等比例41类比等腰三角形的“两腰相等”的性质，可推知正三棱锥有性质————2类比等腰三角形的“两底角相等”的性质，可推知正三棱锥有性质——3类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四体有性质_______4：在平面几何里,有勾股定理“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2＝BC2”,拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则________________.”5：在平面几何里,有两直角边分别为a、b三角形外接圆直径d满足d2=a2+b2,拓展到空间,,可以得出长宽高分别为a、b、c的长方体外接球直径d满足___________”5设ha、hb、hC是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到三边的距离分别为pa、pb、pc，我们有结论拓展到空间中，类比可以得到结论：————.1ccbbaahphphpPAPBPCPAPBPC6由图(1)有面积关系:则由图(2)有体积关系:PABPABSPAPBSPAPBPABCPABCVVPBBAAPBBAACC图(1)图(2)7平面与空间中的余弦定理平面：三角形ABC中，2222cosabcbcA空间：四面体A-BCD中，ABCD设二面角B-AC-D，C-AD-B，D-AB-C的大小依次为123,,22221232cos2cos2cosBCDABCACDABDABCACDACDABDABDABCSSSSSSSSSS8在△ABC中，AB⊥AC于A,AD⊥BC于D，求证:，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由.222AC1+AB1AD1【证明】如图11-3-1所示，由射影定理得AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC·DC.∴又BC2=AB2+AC2,∴∴.·ACABBC=CBD·BC·DC·BBC=BD·DC1=AD122222.AC1AB1·ACABACABAD12222222+=+=.AC1AB1AD1222+=猜想：类比AB⊥AC,AD⊥BC猜想四面体ABCD中，AB,AC,AD两两垂直,AE⊥平面BCD.则.AD1AC1AB1AE12222++=AE⊥平面BCD.则如图，连结BE交CD于F，连结AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD，而AF面ACD,∴AB⊥AF.而Rt△ABF中，AE⊥BF,∴在Rt△ACD中，AF⊥CD,∴∴故猜想正确.返回目录.AD1AC1AB1AE12222++=⊂222AF1AB1AE1+=222AD1AC1AF1+=.AD1AC1AB1AE12222++=9在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n＜19，n∈N*)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{bn}中,若b9=1,则有.等式成立.b1b2…bn=b1b2…b17-n(n＜17，n∈N*)本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：等差数列→用减法定义→性质用加法表述（若m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq）;等比数列→用除法定义→性质用乘法表述（若m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq）.由此，猜测本题的答案为：b1b2…bn=b1b2…b17-n（n＜17，n∈N*）.从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理．注：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．2.1.2演绎推理２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.MSa恢复成完全三段论。的图象是一条抛物线”、把“函数例112xxy解：二次函数的图象是一条抛物线（大前提）（小前提）是二次函数函数12xxy结论）的图象是一条抛物线（所以，函数12xxy2菱形的对角线互相平分；大前提：平行四边形的对角线互相平分小前提：菱形是平行四边形；结论：菱形的对角线互相平分.3通项公式为an＝3n＋2的数列{an}是等差数列.大前提