第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入

一、复数的有关概念1.复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的和.若，则a＋bi为实数，若，则a＋bi为虚数，若，则a＋bi为纯虚数.实部虚部b＝0b≠0a＝0且b≠02.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R).3.共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔(a，b，c，d∈R).4.复数的模向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作或，即|z|＝|a＋bi|＝.a＝c且b＝d|z||a＋bi|任意两个复数能比较大小吗？提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小.二、复数的运算1.复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝；(4)除法：(c＋di≠0).(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i2.复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝，(z1＋z2)＋z3＝.z2＋z1z1＋(z2＋z3)1.在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵z＝i(1＋2i)＝－2＋i，∴复数z在复平面内对应的点为Z(－2,1)，该点位于第二象限.答案：B2.若z＝(x2－1)2＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1解析：∵z为纯虚数，答案：A3.已知＝2＋i，则复数z＝()A.－1＋3iB.1－3iC.3＋iD.3－i解析：法一：(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i.∴z＝1－3i.法二：∴z＝(1－i)(2－i)＝2－3i－1＝1－3i.答案：B4.若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为.解析：∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，∴(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，∴复数(z1－z2)i的实部为－20.答案：－205.已知M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数a＝.解析：依题意(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，答案：－11.复数是实数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R⇔b＝0；(2)z∈R⇔z＝(3)z∈R⇔z2≥0.2.复数是纯虚数的充要条件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0，且b≠0；(2)z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；(3)z是纯虚数⇔z2＜0.z当实数m为何值时，z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，(1)z为纯虚数；(2)z∈R；(3)z对应的点在复平面内的第二象限内.根据复数z为实数，虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m值.【解】(1)若z为纯虚数，则解得m＝3.(2)若z为实数，则解得m＝－1，或m＝－2.(3)若z的对应点在第二象限内，则解得－1＜m＜1－，或1＋＜m＜3.综上得m＝3时，z为纯虚数；m＝－1，或m＝－2时，z为实数；－1＜m＜1－，或1＋＜m＜3时，z的对应点在复平面内的第二象限内.1.已知m∈R，复数(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z是实数？(2)z是虚数？(3)z是纯虚数？z=解：(1)要使z是实数，m须满足：m2＋2m－3＝0且有意义，解得m＝－3.∴当m＝－3时，复数z为实数.(2)要使z是虚数，m须满足：m2＋2m－3≠0，且有意义，解得m≠1且m≠－3.∴当m∈R且m≠1，－3时，z为虚数.(3)要使z是纯虚数，m须满足：且m2＋2m－3≠0.解得m＝0或m＝－2，∴当m＝0或m＝－2时，z为纯虚数.1.在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度.(1)(1＋i)2＝2i；(2)(1－i)2＝－2i；(5)－b＋ai＝i(a＋bi)；(6)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N*.2.复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧.计算：(1)可用复数的运算性质计算；(2)可用－2＋i＝i(1＋)计算.【解】（1）原式=（2）原式=4251+1=i+iii2i.100510052i+()ii2i2.计算：解：13i.[(1＋i)2010·(1＋i)＋(1－i)2010·(1－i)][(2i)1005·(1＋i)＋(－2i)1005·(1－i)][i·(1＋i)＋(－i)·(1－i)]＝－.2复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)所表示的复数，所表示的复数；(2)对角线所表示的复数；(3)求B点对应的复数.CA结合图形和已知点对应的复数，根据加、减法的几何意义，即可求解.【解】(1)所表示的复数为－3－2i.所表示的复数为－3－2i.所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.3.设复数z的共轭复数为，且＋i，ω＝sinθ－icosθ，复数z－ω对应复平面内的向量为.求z的值和的取值范围.OM且4z+解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由4z＋2＝3得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3即6a＋2bi＝3根据复数相等的充要条件有zzz(sinicos)故所求的的取值范围是[0，2].1sin≤02.z≤≤从近几年的高考试题看，复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点，通常分两种题型，即选择题和填空题.一是考查复数的概念，如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等基础知识.2009年陕西高考卷第2题考查复数的概念及运算.(2009·陕西高考)已知z是纯虚数，是实数，那么z等于()A.2iB.iC.－iD.－2i[解析]由题意得z＝ai(a∈R且a≠0).]则a＋2＝0，∴a＝－2.有z＝－2i.[答案]D若将本题中的z是纯虚数改为z是复数，z等于多少？