第四章 综合指标(下)(平均指标和变异指标)

第四章综合指标（下）（平均指标和变异指标）一、教学目的和要求1、掌握集中趋势的概念、作用、计算方法及其应用；2、掌握离散趋势的概念、作用、计算方法及其应用；二、教学重点掌握各类统计指标的计算方法和应用原则，并进行初步的分析。三、教学难点结合实例准确进行集中趋势和离散程度的测度及分析。四、教学方法课堂讲授，辅以多媒体幻灯图片五、教学时数：4学时对统计数据分布的特征可以从三个方面进行测度和描述：集中趋势、离散程度、偏态和峰度。第一节平均指标（集中趋势的测度）集中趋势（Centraltendency)：是总体中各单位的次数分布从两边向某一中心值靠拢的趋势。测度集中趋势也就是寻找总体一般水平的代表值或中心值。一、平均指标的含义、特点和作用（一）、平均指标的含义在同质总体内，将总体各单位在某一标志下的数量差异抽象化，以反映总体在一定时间、地点和条件下所达到的一般水平的统计综合指标。（二）、平均指标的特点1、把总体各单位标志值的差异抽象化，从而说明总体各单位标志值的一般水平（抽象性和代表性）；2、反映总体变量值的集中趋势。（三）、平均指标的作用1、用于不同总体的同类现象的对比分析；2、作为判断事物的标准和制定生产定额的依据；3、利用平均指标进行推算和预测，深入统计研究分析。二、数值平均数与位置平均数（一）、数值平均数1、算术平均数（1）、算术平均数的基本形式定义：总体各单位的标志总量与其相对应的单位总数之比，是集中趋势最重要的一种测度值。算术平均数=总体标志总量/总体单位总量①简单算术平均数（适合于总体未分组或分组后各组次数相等的情况。）NXXi1751918171615X标志值个数总体标志总量简单算术平均数例：有5名工人生产的零件数分别为：15、16、17、18、19，平均每个工人生产的零件数为多少？解：（件）②加权算术平均数（适合于分组后各组次数不同的变量数列。）基本公式影响加权算术平均数的因素：变量值和权数选择权数的原则：变量值与权数的乘积是具有实际经济意义的标志总量。实质：是各组次数f占全部单位数的比重大小，即f/∑f。加权算术平均数与简单算术平均数的关系：当时，iiiiiiffXffXXAfffn21nxnAxAAxAfxfx例如：权数对均值的影响甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下甲组：考试成绩（x）:020100人数分布（f）：118乙组：考试成绩（x）:020100人数分布（f）：811)(82108100120101分甲ffxxnii)(12101100120801分乙ffxxniiA、由单项式变量数列计算算术平均数例:某班组工人平均工资的计算工资(x)工人数(f)工资总额(xf)50021000530421207408592086054300102011020合计2014360解：（元）7182014360fxfXB、由组距式变量数列计算算术平均数例：计算某车间工人加工零件平均数解：（件）按零件数分组（个）组中值（x）人数（f）xf50—6055844060—706520130070—807512900合计—40264066402640fxfX以组中值作为各组标志值的代表值，是假定各组变量值在组内分布是均匀的，组中值等于组平均数，而实际上不一定如此。因此，用组中值计算的算术平均数是一个近似值，但此平均数对总体仍然具有足够的代表性，实际工作中广泛运用。（2）、是非标志的平均数是非标志：将总体全部单位划分为具有某种特征和不具有某种特征两组的分组标志。如：产品质量分“合格”与“不合格”；性别分“男”和“女”等其标志表现只有“是”与“非”两种结果，将其数量化，通常以“1”代表“是”，以“0”代表“非”。设全部总体单位数为N，“是”的单位数为“N1”，“非”的单位数为“N0”。则N=N1+N0。成数：总体中具有（或不具有）某种特征的单位数占全部单位数的比重。分别以p（或q）表示。P=N1/Nq=N0/Np+q=1是非标志x单位数f比重f/∑f1N1N1/N=p0N0N0/N=q合计N1是非标志的算术平均数为：pNNNNNNNNNfxfx1011010101（3）、算术平均数的特点：①、易受极端值的影响；②、所依据的子项和母项具有依存关系；②、各变量值与算术平均数的离差之和等于零③、各变量值与算术平均数的离差平方和最小niixx12min)(niixx10)(（4）、算术平均数的数学性质①、总体单位总数与算术平均数的乘积等于总体标志总量iixfx2、调和平均数(倒数平均数Harmonicmean）（1）、定义：调和平均数是变量值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均数。从数学意义上来说，是一种独立的平均指标；在统计实践中，大多数情况下是将调和平均数作为算术平均数的变形来使用的。（2）、计算公式：①简单调和平均数（实际经济生活中应用不多）②加权调和平均数（常作为算术平均数的一种变形来广泛使用）XH11XMMH例题分析某日三种蔬菜的批发成交数据蔬菜名称批发价格(元)x成交额(元)M成交量(公斤)f甲乙丙1.200.500.801800012500640015000250008000合计—3690048000【例】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格（元）批发价格成交额成交额769.04800036900xmmH课堂练习：写出算式即可。练习1：某管理局所属的15个企业，2000年按其生产某产品平均单位成本的高低分组资料如下，试计算平均单位成本。按平均单位成本分组（元/件）企业数（个）各组产量在总产量中所占的比重（%）10~1212~1414~18276224038合计15100试指出那个厂的平均单位成本高，其原因何在？品种单位成本（元）总成本一厂二厂甲乙丙152030210030001500322515001500练习2：有两个工厂生产三种产品的单位成本和总成本资料如下：练习3：计算某地区工业企业产值平均计划完成程度？计划完成%企业数（个）计划产值（万元）90以下714090——10022310100——110571650110——12026710120以上340合计1152850（3）、调和平均数特点：①、易受极端值影响；②、实际工作中，常作为算术平均数的变形来使用。当时则（已知m、f）(已知x、f）(已知x、m）fmxxmmxfxfxfmx原来只是计算时使用了不同的数据！（4）、平均数计算方法的选择3、几何平均数(Geometricmean）（1）、定义：N个变量值连乘积的N次方根，它适用于平均比率、平均速度的计算。。（2）、计算公式：①简单几何平均数（适用于未分组资料）NNNXXXXG···21②、加权几何平均数（当每个变量值出现的次数或频率不同时）ffinixiG1例1：一位投资者持有一种股票，1997，1998，1999，2000收益率分别为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资者在这四年内的平均收益率。%84.103%4.105%5.103%0.102%5.1044例2：某企业四个车间流水作业生产某产品。一车间产品合格率为99%，二车间为95%，三车间为92%，四车间为90%，计算该企业的平均产品合格率。%94.93%90%92%95%994这四年的平均收益率为3.84%。该企业的平均产品合格率为93.94%。%8.6%6.108%)151(%)101(%)81(%)41(%)31(2521084平均年利率为ffXG例3：求平均年利率投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的，25年利率分配时（按时间数序）：有一年是3%，有4年为4%，有8年为8%，有10年为10%，有2年为15%。求平均年利率。（3）、几何平均数的特点：①、受极端值影响较算术平均数小；②、仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。（二）、位置平均数1、中位数（Median)（1）、定义：将总体各单位标志值按大小排列时居于中间位置的标志值。（2）、中位数的计算：①、对于未分组数据，中位数位置=(n+1)/2；n为变量值的个数。②、对于单项式分组数据，中位数位置=∑f/2；∑f为总体单位数之和。③、对于组距数列，确定中位数组之后，可按以下公式计算中位数：immefSfLM12（下限公式）为中位数所在组下一组的累计次数；i为中位数所在组在组距；为中位数所在组的次数。1mSmf例：顺序数据的中位数解：中位数的位置为300/2＝150从累计频数看，中位数在“一般”这一组别中。因此Me=一般甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)累计频数非常不满意不满意一般满意非常满意2410893453024132225270300合计300—（3）、中位数的特点与应用场合①、是一个位置代表值，不受极端值的影响，比较稳健；②、中位数的取值只与中间位置的一个或两个数值有关，利用信息不充分。③、当变量数列呈U型分布或有缺口时，中位数失去代表性。（4）、分位数与中位数性质相似的还有四分位数、十分位数和百分位数。四分位数：将变量数列四等份的三个数值。记作Q1、Q2、Q3。对不分组数据而言，三个四分位数的位置分别是：Q1在（n+1）/4，Q2在2（n+1）/4，Q3在3（n+1）/4，可见，Q2就是中位数。02、众数（Mode）（1）、定义：众数是变量数列中出现次数最多的变量值。（2）、众数的确定：①、对于未分组数据和单项式分组数据，众数位置确定之后便找到了众数。②、对于组距数列，若众数组相邻两组次数相等，则众数组的组中值就是众数；若众数组上一组的次数较多，则众数在众数组内靠近上限；若众数组下一组的次数较多，则众数在众数组内靠近下限。计算公式：iLMo211△1为众数组与下一组频数之差；△2为众数组与上一组频数之差；i为众数组的组距。（下限公式）1mmff1mmff（3）、众数的特点与应用场合：①、不受极端值的影响；②、当变量值为均匀分布、U型分布、J型分布时，没有众数。③、组距数列众数的计算公式，一般只适用于等距数列，否则随着组距的变化，众数和众数组可能发生变化。不同品牌饮料的频数分布饮料品牌频数比例百分比(%)可口可乐旭日升冰茶百事可乐汇源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合计501100解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个分类变量，不同类型的饮料就是变量值。在所调查的50人中，购买可口可乐的人数最多，为15人，占总被调查人数的30%，因此众数为“可口可乐”这一品牌，即Mo＝可口可乐例:分类数据的众数例:顺序数据的众数解：这里的数据为顺序数据，变量为“回答类别”。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即Mo＝不满意甲城市家庭对住房状况评价的频数分布回答类别甲城市户数(户)百分比(%)非常不满意不满意一般满意非常满意24108934530836311510合计300100.0例：数值型数据——某地农户收入众数、中位数的计算年收入（元）农户数农户数累计向上累计向下累计500—600600—700700—800800—900900—10001000—11001100—12001200—1300240480105060027021012030240720177023702640285029703000300027602280123063036015030合计3000——解：因第3组次数最多，故其为众数组。=755.9(元）中位数位置==1500，所以第三组为中位数组。=774.3(元）iLMo211100450570570700immefSfLM122f10010507