小学生数学素养与数学思想方法

小学生数学素养与数学思想方法人民教育出版社小学数学室王永春大纲时代小学数学传统的四大能力：运算能力、推理能力、解决问题和空间想象能力（空间观念）2001版课标：知识、活动经验、应用技能六大核心概念：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力2011版课标：四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验四能：发现问题、提出问题、分析问题、解决问题十大核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识当前初中数学所需要的能力：数及代数式的运算、概念、判断、推理论证、空间想象、作图。其中概念、性质、公式、定理是基础，运算中有推理解决实际问题的能力：方程、函数（包括三角函数）、统计与概率传统的数学教学，尤其是中学数学教学，习惯于精讲多练，重点在训练，导致普通学生吃夹生饭，学不好数学、害怕数学。中国数学教育的一些优势是明显的，上海参加PISA测试名列前茅。2014年5月召开的首届华人数学教育会议，有专家认为：中国数学教育的主要优势是双基+变式练习有专家评价认为我国数学教育主要有三个弱项：独立思考、问题解决、创造性独立思考：13年课程改革，独立思考能力为什么没有发展？我个人认为没有处理好自主学习与合作学习的关系。早在2002年的《课程教材教法》第8期上发表文章：《小学数学教学中小组合作学习存在的问题及其解决策略》，指出：在合作学习之前要让学生先独立思考问题,每个学生有了初步想法后再进行探究、交流,共同解决问题。这样做给不爱动脑思考或学习有一定困难的学生提供了进步的机会,对提高这部分学生的学习能力是有帮助的。学（生）本课堂的重要体现是培养独立思考能力、自学能力、问题解决能力、创造性：是什么？为什么？如何运用、应用？概念等判断推理等运算、问题解决数学思想方法问题解决：主要是指解决实际问题和开放题数陈述性知识（概念系统）理解、记忆学程序性知识（规则、技能）适当训练知策略性知识（思想方法）感悟、智慧识独立思考+在交流中学他人之长综合来看，小学生数学核心素养为：知识：概念、公式、法则、性质、定律等能力：运算、推理、空间想象、解决问题（纯数学、联系实际、开放性）思想方法：理性思维的升华，智慧教学模式：学本课堂，独立思考、自学、合作交流2014年10月召开的中国教育学会小学数学年会，美国陶森大学孙伟教授认为：美国数学教育，学生分为三个层次：前20%：高中学习AdvancedPlacement（大学预修课）中间60%：基本达标后20%：不达标中国整体平均数高于美国，极差和方差小于美国，说明：中国保底教育搞得好：人人获得良好的数学教育上面封顶了：不同的人在数学上没有得到更好的发展今后应该把天花板盖高一些，让那些好孩子不要在题海战术中消磨了大学进一步学习的热情和创造力。《义务教育数学课程标准》（2011年版）总体目标通过义务教育阶段的数学学习，学生能：1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。基本思想作为第三基，不再是附属品，而是实实在在的教学目标和数学素养的一部分，需要在课堂教学中根据学生的年龄特征和思想方法的难易程度进行不同程度的体现。数学思想方法对于小学数学教学的意义（一）有利于建立现代数学教育观、落实新课程理念学生数学素养的内涵、数学的价值要更新（二）有利于提高教师专业素养、提高教学水平学本课堂，教师要提高专业素养，否则无法授人以渔（三）有利于提高学生的思维水平、培养“四能”不能让学生单纯地认为学数学就是考试拿分的工具11《标准（2011）》在教学建议中强调让学生感悟数学思想。教科书中的很多内容都渗透了各种数学思想，有些是明显的，有些是隐藏的。如二上第一单元长度单位体现了符号思想，用字母符号“cm”“m”来表示长度单位厘米和米，是非常明显的；而在第4和6单元表内乘法中体现了函数思想，就是隐藏的。把教材中哪些内容体现什么数学思想，进行具体描述，便于老师们把握。为了让广大教师更好地理解有关数学思想的理念、落实数学思想的教学目标，建议采用《标准（2011）》中的行为动词来描述数学思想的教学目标。教学目标要具体、全面、用词准确、便于落实和检测。了解：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。经历：在特定的数学活动中，获得一些感性认识。体验：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验。探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。一、抽象的思想1.对抽象思想的认识。数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程。数学抽象思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。(1)数学抽象在数学教学的过程中无处不在。任何一个数学概念、法则、公式、规律等的学习，都要用到抽象概括。(2)数学抽象是有层次的。随着数学的发展呈现出了逐步抽象的过程。例如，数的发展，从结绳记数得到1，2，3，…等有限的自然数，再通过加法的运算，得到后继数，形成了无限的正整数序列：1，2，3，…，n,…在此基础上形成了正整数集合N。再如，整数→小数→分数→有理数→实数算术中的数（1等）→代数中的常量（a）→变量(χ)2.抽象思想的应用。抽象思想在数学中无处不在。一年级上册，10的认识，11-20的认识。在教学10的认识时，多数教师会结合计数器、点子图、小棒等直观教具认识到9添上1是10，然后再进一步学习10的组成及加减法；没有引导学生思考：10与前面学习的0～9这些数有什么不同？这里实际上隐含一个非常重要的思想方法—数学抽象，它比8和9的抽象水平更高，因为10不仅是对任何数量是10的物体的抽象，进一步地它已经不再用新的数字计数了而是采用了伟大的十进位值制计数原理。在11-20的认识时，就要引导学生思考：10与9的不同？11中的两个1有什么不同？3.数学抽象思想的教学。具体→抽象→具体↓↓↓情境→模型→应用注：这里的模型是广义的，数学概念、法则、公式、数量关系、规律等都可以理解为模型。在到处是情境的数学教育时代，往往容易忽略抽象。二、符号化思想1.对符号化思想的认识。数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。《标准（2011）》解读认为：“符号是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法”。也就是说，用符号表示既是一种数学思想，也是一种数学方法。第一，能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示。这是一个从具体到抽象、从特殊到一般的探索和归纳的过程。第二，理解符号所代表的数量关系和变化规律。这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、表格和图象等表示情境中数量间的关系。第三，会进行符号间的转换。数量间的关系一旦确定，便可以用数学符号表示出来，但数学符号不是唯一的，可以丰富多彩。如一辆汽车的行驶时速为定值80千米，那么该辆汽车行驶的路程和时间成正比，它们之间的数量关系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，还可以用图象表示。即这些符号是可以相互转换的。第四，能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。这是指完成符号化后的下一步工作，就是进行数学的运算和推理。能够进行正确的运算和推理是非常重要的数学基本功，也是非常重要的数学能力。2.符号化思想的具体应用。（1）数的表示、运算和关系。数字0~9、+、－、×、÷、＝、、是比较早期的数学符号，便于人们计数和计算。是小学数学应用最广泛的符号。（２）代数思想。代数在早期的主要特征是以文字为主的演算，到了16、17世纪数学家韦达、笛卡尔和莱布尼兹等数学家逐步引进和完善了代数的符号体系。①用字母表示数。②用字母表示数量关系。运算定律、公式、数量关系。加法交换律:a+b=b+a时间、速度和路程的关系:s=vt③用符号表示变化规律。数列的变化规律:1,2,3,5,8,…图形的变化规律,小棒的根数：y=3x+1情境图中小猴和各种水果是散乱放置的，先进行分类，将相同的东西放在一起，并一一对应竖直排成一列，统计出数量，然后再比较数的大小。在这里呈现了简单的象形统计图，渗透了统计思想和一一对应思想。接着引出数学符号“＝”“＞”“＜”，介绍如何用数学符号“＝”“＞”“＜”来表示数的大小的比较结果。让学生从具体到抽象，经历了符号化的过程，渗透符号化思想。一年级上册，比大小。如在长方形上拼摆单位面积的小正方形，探索并归纳出长方形的面积公式，并用符号表示：S＝ab。如假设一个正方形的边长是a，那么该正方形的周长c=4a，该正方形的面积s=a²。符号思想是模型思想、方程思想、函数思想、推理思想的基础。有利于从本质上理解和应用数学。如学习了正比例关系，用符号表达比语言更有利于判断数量之间的关系。与y=kx比较。三、模型思想1.对模型思想的认识。数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。数学的模型思想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处，同样具有普遍的意义。不过，也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性,即把数学模型描述为特定的事物系统的数学关系结构。如通过数学在经济、物理、农业、生物、社会学等领域的应用，所构造的各种数学模型。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分开来，主要从侠义的角度讨论数学模型，即重点分析小学数学的应用及数学模型的构建。数学模型是运用数学的语言和工具，对现实世界的一些信息进行适当的简化，经过推理和运算，对相应的数据进行分析、预测、决策和控制，并且要经过实践的检验。如果检验的结果是正确的，便可以指导我们的实践。如上所述，数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用；因而，模型思想在数学思想方法中有非常重要的地位。如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达，那么模型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题，尤其是现实中的各种问题；当然，把现实情境数学结构化的过程也是一个抽象的过程。2011版课程标准与原课程标准相比有了较大变化，在课程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识”。2.模型思想的应用。数的表示，自然数列：0,1,2,…用数轴表示数用数字和图形表示排列规律数的运算a+b=c，c－a=b,c－b＝a，a×b＝c(a≠0,b≠0)，c÷a=b,c÷b＝a用字母表示运算定律，方程ax+b=c数量关系：时间、速度和路程：s=vt数量、单价和总价：a=np正比例关系：y/x=k反比例关系：xy=k用表格表示数量间的关系用图象表示数量间的关系用字母表示周长、面积和体积公式用图表示空间和平面结构用统计图表描述和分析各种信息用分数表示可能性的大小。一下，找规律六下，找规律，建模下面讨论以数学模型为核心的问题解决的教学。传统上应用题的结构是与四则运算、混合运算相匹配，包括有连续两问的应用题、相似应用题的比较，现在有问题串，这些都是很好的做法和经验，是知识结构的基础