第1章 集合论基础22

1离散数学第1章集合论基础50－1第1章集合论基础世界上各门学科与各个领域的研究与应用中，都有特定的研究的对象与目标。这些研究对象与目标呈群体形式出现，为研究它的一般性规则与特点，就出现了集合论。集合论是一门最基础的学科，它对人类社会中的所有学科具有指导性作用。2离散数学第1章集合论基础50－2集合论的基本内容集合论基础。关系：关系是建立在集合论基础上的一种特殊集合，它研究客观世界中事物间关联的规则。函数：函数是一种特殊的规范化的关系。3离散数学第1章集合论基础50－31.1集合的基本概念解释1.集合：一些具有共同目标的对象所汇集在一起的集体称集合。它可用大写字母S，A，B等表示。解释2.元素：集合中具有共同目标的对象称元素。集合是由元素所组成。元素一般可用小写字母：e，a，b，c等表示。例:学校中全体师生员工构成一个集合并可用S表示，而其中每个教师、学生或员工则是S的元素。4离散数学第1章集合论基础50－4解释3.空集：不含任何元素的集合称为空集，它可记为：。例:今天全体人员出席会议，此时缺席会议人员的集合为。解释4.全集：在所讨论或关注的范围内所有元素所组成的集合称为全集，它可记为：E。5离散数学第1章集合论基础50－5常用集合NZQRC6离散数学第1章集合论基础50－61.2集合的表示方法1.枚举法将集合中的元素一一列举出来并用花括号括住，而元素间则用逗号隔开。例:基本阿拉伯数字：S={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}例:自然数集：N={1，2，3，4，5，……}枚举法是一种显式表示法。7离散数学第1章集合论基础50－72.特性刻划法（隐式表示法）S＝｛x|p(x)｝例:B={x|x=a2,a是自然数}8离散数学第1章集合论基础50－8集合的辅助表示方法—Venn图又称文氏图。EAA图1.1Venn图表示法9离散数学第1章集合论基础50－91.3集合概念间的关系1元素与集合之间的关系：a属于集合A，记为aA或者a不属于集合A，记为aA两者必居其一。例如，对元素2和N，就有2属于N，即2N，对元素-2和N，就有-2不属于N，即-2N。10离散数学第1章集合论基础50－102.集合与集合间的关系相离关系与相交关系必居其一。（1）相离关系如果集合A与B间不存在元素e，使得eA且eB,则称A与B是相离的。例：下面的集合A与B是相离的：A={1、3、5、7、9}B={2、4、6}1.2（a）集合的相离关系11离散数学第1章集合论基础50－11（2）相交关系如果集合A与B间至少存在一个元素e，使得eA且eB则称A与B与相交的。例：下面的集合A与B是相交的。A={1，3，7，8}B={2，4，6，8}图1.2.(b)集合的相交关系12离散数学第1章集合论基础50－123.集合相交中的两个特殊关系（1）包含关系定义：设有集合A与B，如果对每个eB必有eA，则称A包含B，或称B是A的子集，并可记为AB或BA。在AB中如果存在e’A但e’B则称A真包含B，或称B是A的真子集，并可记为AB或BA。例：设有A={1，2，3，…，100}，此时有：NA并且还有：NA。ENA集合包含关系13离散数学第1章集合论基础50－13（2）相等关系定义：设有集合A与B，如果有AB且BA则说A与B相等，并记以A=B。否则则称A与B不相等，并记以AB。定义2：设有集合A与B，如果A与B有相同的元素，则称A与B相等并记以A=B，否则则称A与B不相等，并记以AB。A,B相等关系14离散数学第1章集合论基础50－141.4集合概念的基本性质1.集合元素的确定性：对集合S与元素e，或eS，或eS，两者必居其一。2.集合元素的相异性：集合中每个元素均是不相同的。如有S={a，b}，则a，b必不相同的。3.集合元素的不重复性：集合中不出现有相重复的元素，如{a，b，b，c}与{a，b，c}是一样的。4.集合元素的无序性：集合中元素与其排列无关。如{a，b，c}与{b，a，c}及{c，a，b}均是一样的。15离散数学第1章集合论基础50－155.集合与元素的相异性：集合与元素是两个不同概念，集合不等同于元素。例：设c为元素，{c}与c属两个不同概念。6.集合与元素的相同性：集合A可以是另一个集合的元素(反映了集合嵌套性)。例：如{1，2}是集合，而在集合S={a，b，{1，2}}中，{1，2}是元素。但集合不能是它自身的元素，即AA！！！16离散数学第1章集合论基础50－167.集合的层次性：S是集合则{S}也是集合，S{S}，{S}是比S更高一层次的集合，同样，有{S}{{S}}，{{S}}是比{S}更高一层次的集合，…，由此类推。8.对任一集合S有：SE17离散数学第1章集合论基础50－171集合解释2两种表示法3三种集合关系集合与元素集合与集合：相交或相离相交集合特殊关系：包含与相等4集合运算。。。前情回顾18离散数学第1章集合论基础50－181.5集合运算三个最基本的运算:并运算、交运算以及补运算。并运算：将集合A与B中所有元素合并的运算，记为A∪B，例：A={1，2，3，4}，B={5，6，7，8}，则：A∪B={1，2，3，4，5，6，7，8}所得到的集合C称A与B的并集。即：C=A∪B19离散数学第1章集合论基础50－19交运算：将集合A与B中的公共元素取出的运算，可记为A∩B，例:A={1，3，5，7}，B={3，5，7，9}，则：A∩B={3，5，7}所得到的集合C称A与B的交集。即：C=A∩B重新定义概念相离关系：集合A与B如满足A∩B=，则称A与B是相离的。相交关系：集合A与B如满足A∩B，则称A与B是相交的。20离散数学第1章集合论基础50－20补运算：将集合E中所有属于E但不属于A的元素取出的运算可记为A，例：设E=N，A={0，1，3，5，7，9，…}，此时有：A={2，4，6，8，…}所得到的集合B称A的补集，即：B=A21离散数学第1章集合论基础50－21集合运算图示EEAB并集、交集与补集之Venn图表示EAAB22离散数学第1章集合论基础50－22三个运算的21条规则：1.交换律：A∪B＝B∪A（1-1）A∩B＝B∩A（1-2）2.结合律：A∪（B∪C）＝（A∪B）∪C（1-3）A∩（B∩C）＝（A∩B）∩C（1-4）3.分配律：A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）（1-5）A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）（1-6）23离散数学第1章集合论基础50－234.等幂律：A∪A＝A（1-7）A∩A＝A（1-8）5.双否定律：～（～A）＝A（1-9）6.互补律：A∪～A＝E（1-10）A∩～A＝（1-11）～E＝（1-12）～＝E（1-13）24离散数学第1章集合论基础50－247.同一律：A∩E＝A（1-14）A∪＝A（1-15）A∩＝（1-16）A∪E＝E（1-17）8.吸收律：A∪（A∩B）＝A（1-18）A∩（A∪B）＝A（1-19）9.德．摩根（DeMorgan）律：～（A∪B）＝～A∩～B（1-20）～（A∩B）＝～A∪～B（1-21）25离散数学第1章集合论基础50－251.7扩充的集合运算1集合差运算：将集合A与B中属于A而不属于B的元素取出的运算称A对B的差运算，可记为A-B，EABA-B例：A={a，b，c，d，e，f}，B={b，d，f,t}，则：A-B={a，c，e}所得到的集合C称A对B的差集，即：C=A-B=A∩(～B)26离散数学第1章集合论基础50－262集合对称差运算：将集合A与B中属于A或属于B但又不属于A∩B的元素取出的运算称A与B的对称差运算，（或称布尔和运算）可记为A+B，EABA+B例：A={a，b，c，d}，B={c，d，e，f}，则：A+B={a，b，e，f}所得到的集合C称A与B的对称差集，（或称布尔和集）即：C=A+B=(A-B)∪(B-A)=(A∪B)-(A∩B)27离散数学第1章集合论基础50－273集合幂运算：把集合S的所有不同子集构成的集合叫做S的幂集(powerset)，记为(S)或2S，表示为(S)＝{X|XS}。例：空集的幂集为：（）={}例：集合S={1，2}的幂集为（S）={，{1}，{2}，{1，2}}例：设S={a，b，c}，此时有：（S）={，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}}若集合S有ｎ个元素，则集合S共有????个子集：在集合S的幂集上的运算称S幂运算！！！|(S)|＝2|S|28离散数学第1章集合论基础50－284笛卡尔乘序偶：两个按一定次序排列的元素a与b组成一个有序序列，称为序偶，并可记为(a,b),其中a与b分别可称为（a，b）的第一分量与第二分量。例：在平面直角座标系中，点（x，y）是一种序偶。例：在月份牌中（月、日）构成了一种序偶。29离散数学第1章集合论基础50－29序偶集：以序偶为元素所组成的集合称序偶集。例：请给出2008年放假节日的序偶集表示。解：元旦：1月1日；春节：2月6日、2月7日与2月8日；清明节：4月4日；劳动节：5月1日；端午节：6月8日；国庆节：10月1日，10月2日，10月3日；重阳节：10月7日；F={（1，1），（2，6），（2，7），（2，8），（4，4），（5，1），（6，8），（10，1），（10，2），（10，3），（10，7）}30离散数学第1章集合论基础50－30笛卡尔乘：集合A与B中将A中元素作为第一分量，B中元素作为第二分量构成的所有序偶所形成序偶集的过程，称笛卡尔乘。可记为AB。其所形成的结果集C是一个序偶集，叫A与B的笛卡尔乘积，也可简称笛卡尔积。表示如下：C=A×B＝{(a,b)|aA,bB}例：A={1,2},B={3,4,5},则A×B={(x,y)|xA,yB}={(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)}31离散数学第1章集合论基础50－31n元有序组：可记为（a1，a2，…，an）。其中ai（i＝1,2,…n）可称为（a1，a2，…，an）的第i个分量。例：表示日期：年、月、日可用三元有序组表示：（年,月,日）。例：身份证号码由持有人的：省、市、区，出生年、月、日以及相应序列号和纠错码等八元有序组组成，它可表示为：（省,市,区,年,月,日,序列号,纠错码）32离散数学第1章集合论基础50－32n元有序组集：由n元有序组所组成的集合称n元有序组集。n阶笛卡尔乘：C=S1×S2×…×Sn={（x1，x2，…，xn）xiSi（i＝1,2,…n）}例：三维空间座标系上所有点可用三阶笛卡尔乘积表示：R×R×R=R3={（x，y，z）xR，yR，zR}33离散数学第1章集合论基础50－331集合解释2两种表示法3三种集合关系集合与元素集合与集合：相交或相离相交集合特殊关系：包含与相等4集合运算三种基本运算，21条规则三种扩充运算本章小结34离散数学第1章集合论基础50－34P151.3,1.4,1.5要求：1作业本要统一；2题目要写全；3作业本右上角注明学号最后三位数；4课代表上交作业本要按学号顺序排好。作业课代表交作业时间：下次上课时