2014年高考坐标系与参数方程4-4-2

选修4－4－2参数方程考纲点击1.了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.3.了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程.说基础课前预习读教材考点梳理1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上①____________的坐标x，y都是某个变数t的函数：x＝ft，y＝gt.并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在②__________，那么方程叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称③______.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做④__________.2．直线的参数方程过定点P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为⑤__________________(t为参数)，则参数t的几何意义是⑥______________.3．圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆的参数方程为⑦__________________α∈[0,2π)．4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为⑧____________________θ∈[0,2π)．答案：①任意一点②这条曲线上③参数④普通方程⑤x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα⑥有向线段P0P的数量⑦x＝a＋rcosα，y＝b＋rsinα⑧x＝acosθ，y＝bsinθ考点自测1.已知直线l的参数方程为x＝－1－22t，y＝2＋22t(t为参数)，则直线l的斜率为()A．1B．－1C.22D．－22解析：直线l的参数方程可化为x＝－1＋tcos3π4，y＝2＋tsin3π4，故直线的斜率为tan3π4＝－1.答案：B2．过点M(2,1)作曲线C：x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所在直线的方程为()A．y－1＝－12(x－2)B．y－1＝－2(x－2)C．y－2＝－12(x－1)D．y－2＝－2(x－1)解析：由于曲线表示的是圆心在原点，半径为r＝4的圆，所以过点M的弦与线段OM垂直，∵kOM＝12，∴弦所在直线的斜率是－2.故所求直线方程为y－1＝－2(x－2)．答案：B3．圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，那么圆的参数方程为()A.x＝rcosφ，y＝rsinφB.x＝r1＋cosφ，y＝rsinφC.x＝rcosφ，y＝r1＋sinφD.x＝r1＋cos2φ，y＝rsin2φ解析：如图，设圆心为O′，连接O′M.∵O′为圆心，∴∠MO′x＝2φ.∴x＝r＋rcos2φ，y＝rsin2φ.答案：D4．直线x＝1＋45t，y＝1－35t(t为参数)被曲线ρ＝2cosθ＋π4所截的弦长为__________．解析：将方程x＝1＋45t，y＝－1－35t，ρ＝2cosθ＋π4分别化为普通方程：3x＋4y＋1＝0，x2＋y2－x＋y＝0.圆心C12，－12，半径为22，圆心到直线的距离d＝110，弦长＝2r2－d2＝212－1100＝75.答案：755．设直线l1的参数方程为x＝1＋t，y＝1＋3t(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x＋4，则l1与l2间的距离为__________．解析：将直线l1的参数方程化成普通方程为y＝3x－2，又l2：y＝3x＋4，故l1∥l2上取一点(0，－2)，其到l2：3x－y＋4＝0的距离就是l1与l2的距离，即d＝|0＋2＋4|10＝3105.答案：3105说考点拓展延伸串知识疑点清源1.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准式为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为12(t1＋t2)．2．对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．3．解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径.题型探究题型一参数方程与普通方程的互化例1已知某曲线C的参数方程为x＝1＋2t，y＝at2(其中t是参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上．(1)常数a＝__________.(2)曲线C的普通方程为____________．答案：(1)1(2)(x－1)2－4y＝0点评：化参数方程为普通方程，关键是消去参数建立关于x，y的二元方程F(x，y)＝0，常用方法有代入消元法，加减消元法，恒等式法，方法的选取是由方程结构决定的，需要注意变量x、y的取值范围．常用的消参数公式有：①t·1t＝1；②sin2θ＋cos2θ＝1；③t＋1t2－t－1t2＝4；④2t1＋t22＋1－t21＋t22＝1.变式探究1下列参数方程与方程y2＝x表示同一曲线的是()A.x＝t，y＝t2(t为参数)B.x＝sin2t，y＝sint(t为参数)C.x＝t，y＝|t|(t为参数)D.x＝1－cos2t1＋cost，y＝tant(t为参数)答案：D题型二直线和圆的参数方程例2已知直线C1：x＝1＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)，C2：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解析：(1)当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组y＝3x－1，x2＋y2＝1，解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，12，－32.(2)C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0，过坐标原点O作C1的垂线方程为xcosα＋ysinα＝0.解方程组xsinα－ycosα－sinα＝0，xcosα＋ysinα＝0，得A点坐标为(sin2α，－sinαcosα)．故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：x＝12sin2α，y＝－12sinαcosα(α为参数)，即4x－1＝－cos2α，4y＝－sin2α(α为参数)．消去参数α，得P点轨迹的普通方程为x－142＋y2＝116.故P点的轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆．点评：本题考查了直线和圆的位置关系以及两条直线的位置关系，一般地，与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行和垂直的直线方程分别为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)和Bx－Ay＋C″＝0.变式探究2在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x＝5cosθ－1，y＝5sinθ＋2(θ为参数)和直线l：x＝4t＋6，y＝－3t－2(t为参数)，则直线l与圆C相交所得的弦长等于__________．答案：46题型三圆锥曲线的参数方程例3在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝cosφ，y＝sinφ(φ为参数)，曲线C2的参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1、C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C1、C2是什么曲线，并求出a与b的值；(2)设当α＝π4时，l与C1、C2的交点分别为A1、B1.当α＝－π4时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．解析：(1)C1是圆，C2是椭圆．当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.当α＝π2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和x29＋y2＝1.当α＝π4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝22，与C2交点B1的横坐标为x′＝31010.当α＝－π4时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为2x′＋2xx′－x2＝25.点评：对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可先化直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．变式探究3在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosα，y＝2＋2sinα.(α为参数)M是C1上的动点，P点满足OP→＝2OM→，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.解析：(1)设P(x，y)，则由条件知Mx2，y2.由于M点在C1上，所以x2＝2cosα，y2＝2＋2sinα.即x＝4cosα，y＝4＋4sinα.从而C2的参数方程为x＝4cosα，y＝4＋4sinα(α为参数)．(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝π3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sinπ3，射线θ＝π3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sinπ3.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.归纳总结•方法与技巧1．直线与圆锥曲线的参数方程的应用(1)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；②定点M0是弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；③设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝t1＋t22(由此可求|M2M|及中点坐标)．(2)圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的点，从而讨论最值或距离等问题．2．参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．3．普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．•失误与防范在曲线方程之间的互化时，要做到互化准确，不重不漏，保持转化前后的等价性.新题速递1.(2012·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的参数方程分别为x＝5cosθy＝5sinθ(θ为参数，0≤θ≤π2)和x＝1－22ty＝－22t(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为__________．解析：曲线C1与C2的直角坐标方程分别为：x2＋y2＝5(0≤x≤5，0≤y≤5)和y＝x－1.由x2＋y2＝5，y＝x－1消去y得：x2－x－2＝0，解得x＝2.代入y＝x－1，得y＝1.∴交点坐标为(2,1)．答案：(2,1)2．(2012·辽宁卷)在直角坐标系xOy中，圆C1：x