2014年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i是虚数单位，复数734iiA.1iB.1iC.17312525iD.172577i2.设变量x、y满足约束条件20201xyxyy，则目标函数2zxy的最小值为A.2B.3C.4D.53.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为A.15B.105C.245D.9454.函数212()log(4)fxx的单调递增区间为A.(0，)B.(，0)C.(2，)D.(，2)5.已知双曲线22221(0xyaab，0)b的一条渐近线平行于直线l：210yx，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为A.221520xyB.221205xyC.2233125100xyD.2233110025xy6.如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分CBF；②FAFDFB2；③DEBECEAE；④BFABBDAF.则所有正确结论的序号是A.①②B.③④C.①②③D.①②④7.设a、bR，则“ab”是“||||aabb”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD，点E、F分别在边BC、DC上，BEBC，DFDC.若1AFAE，CFCE32，则A.12B.23C.56D.712第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取名学生.10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为3m.11.设{}na是首项为1a，公差为1的等差数列，nS为其前n项和，若1S、2S、4S成等比数列，则1a的值为.12.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.已知14bca，2sin3sinBC，则cosA的值为.13.在以O为极点的极坐标系中，圆4sin和直线sina相交于A、B两点.若AOB是等边三角形，则a的值为.14.已知函数2()|3|fxxx，xR.若方程()|1|0fxax恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数23()cossin()3cos34fxxxx，xR.⑴求()fx的最小正周期；⑵求()fx在闭区间[4，]4上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.⑴求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；⑵设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，//ABDC，2ADDCAP，1AB，点E为棱PC的中点.⑴证明：BEDC；⑵求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；⑶若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值.18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，右顶点为A，上顶点为B.已知123||||2ABFF.⑴求椭圆的离心率；⑵设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点1F，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率.19.（本小题满分14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合{0M，1，2，...，1}q，集合12{|Axxxxq...1nnxq，ixM，1i，2，...，}n.⑴当2q，3n时，用列举法表示集合A；⑵设s、tA，12saaq...1nnaq，12tbbq...1nnbq，其中ia、ibM，1i，2，...，n.证明：若nnab，则ts.20.（本小题满分14分）设()()xfxxaeaR，xR.已知函数()yfx有两个零点1x，2x，且12xx.⑴求a的取值范围；⑵证明21xx随着a的减小而增大；⑶证明12xx随着a的减小而增大.