3.1函数与方程

函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.结合具体函数的图象，能用二分法求近似解.新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞3初中函数复习)0(2acbxaxy新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞4性质：1、正比例函数的图象必经过原点（0，0）。2、当k0时，y随x的增大而增大。当k0时，y随x的增大而减小。函数.这时y叫做x的正比例kx,函数为y0时,1.b0)b(kkx一.一次函数yb,kx函数为y0时,2.b一次性质：1、一次函数图象必经过点（0，b）。2、当k0时，y随x的增大而增大。当k0时，y随x的增大而减小。新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞5新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞6新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞7)0(.2acbxaxy二次函数二性质:1.开口方向a0,开口向上a0,开口向下2.对称轴3.顶点坐标4.与x轴的交点由来决定5.与y轴的交点(0,c)abx2)44,2(2abacabacb42新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞8)0(.kxky反比例函数三新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞9[例1](陕西省,2001)已知关于x的方程有两个实数根.(1)求t的取值范围(2)设方程的两个根的倒数和为S,求S与t之间的函数关系式.(3)在直角坐标系内画出(2)中所得到的函数的图象.0242txx新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞10)02(2112,4,0,,)2(208)4(,0)1(212121212121212tttxxxxxxstxxxxxxxxtt且其中则且设方程的两根为即依题意解(3)图象如图示新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞11[例2](十堰市,2001)已知:关于x的函数的图象与x轴总有交点(1)求a的取值范围(2)设函数的图象与x轴有两个不同的交点A、B,其坐标为当,求a的值.41)1()23(22xaxaay),0,(),0,(21xBxA时311221axx新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞12.,1,.41)1()23(,21,21101041)23(4)1(,,21,023..,41,2,41,1,21,023)1(:222222轴有交点函数的图象与时当综上所述轴有两个交点的图象与二次函数时且所以且又即则有轴有交点如果图象与此时函数为二次函数且时当轴有一个交点与是一个一次函数原函数为时当没有交点轴平行与原函数为时当或时当解xaxxaxaayaaaaaaaaaxaaaaiixxyaxyaaaaai新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞1332132,1320143)1(4112341,231)2(22212121221221aaaaaaaxxxxxxaaxxaaaxx舍去而新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞14[例3](鄂州市,2001)已知抛物线与x轴的两个交点在点(1,0)的两旁,试判断关于x的方程的根的情况,并说明理由.05)1(4122mxmx722mmxxy新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞15解:(法一)如图示,当x=1,y0即1+2m+m-70所以m2201277,201)(0)1)(1(:)0,(),0,(72)(2121212121212mmmmxxmxxxxxxxxxxxmmxxy又即据题意则有个交点为轴的两与设法二新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆人教A版高中数学·必修章节复习新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞16)5(414)1(05)1(412222mmmxmx对于方程)2(242mm.0)2(22此方程无实数根mm1.若函数f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点３,那么函数g(x)=bx2+3ax的零点是.0,-1因为函数f(x)=ax-b(b≠0)的零点是３，所以x=3是方程ax-b=0的根，所以b=3a.将它代入函数g(x)=bx2+3ax中，可得g(x)=bx(x+1),令g(x)=0,得x=0或x=-1.2.已知函数f(x)=x3-x-1仅有一个正零点，则此零点所在区间是()CA.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)利用零点存在的判定条件，判断零点存在的区间.由于f(0)=-10,f(1)=-10,f(2)=50,f(3)=230,f(4)=590.根据选择支只有区间（1，2）满足.3.函数f(x)=3ax+1-2a,在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是()CA.-1aB.aC.a或a-1D.a-1151515令f(-1)·f(1)0，得a或a-1，故选C.154.已知函数f(x)=()x-log2x,若实数x0是方程f(x)=0的解，且0x1x0，则f(x1)的值为()13AA.恒为正值B.等于0C.恒为负值D.不大于0因为f(x)在定义域（0，+∞）上单调递减，当x→0时，f(x)→+∞.因为f(x0)=0，所以f(x)=0只有一个实根.所以当0x1x0时，f(x1)0恒成立，故选A.5.设a、b、c均为正数，且2a=loga，()b=logb,()c=log2c,则a、b、c的大小关系是.12121212cab考察函数f(x)=2x与g(x)=logx的图象的交点知，a1.同理得0b，c1，所以cab.1212121.函数的零点(1)对于函数y=f(x),我们把使①.叫做函数y=f(x)的零点.(2)方程f(x)=0函数y=f(x)的图象②函数y=f(x)③.(3)如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线,并且④,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有⑤,即存在c∈(a,b)，使得⑥,这个c也就是方程f(x)=0的根.f(x)=0的实数x与x轴有交点有零点f(a)·f(b)0零点f(c)=02.二分法(1)对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间⑦,使区间的两个端点逐步逼近⑧，进而得到零点近似值的方法叫做⑨.(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：一分为二零点二分法第一步，确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)0,给定精确度ε;第二步，求区间(a,b)的中点c;第三步，计算f(c);(ⅰ)若f(c)=0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));(ⅲ)若f(c)·f(b)0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).第四步,判断是否达到精确度ε:即若|a-b|ε，则得到零点近似值a(或b);否则重复第二、三、四步.题型一函数零点的判断典例精讲典例精讲例1(1)已知区间①(-2，-1)，②(-1，0)，③(0，1)，④(1，2)，⑤(2，3)，则三次方程x3+x2-2x-1=0在哪些区间上有根?(2)判断方程3x+x2-2x-1=0根的个数及符号.(1)令f(x)=x3+x2-2x-1，则f(-2)·f(-1)=(-1)×1=-10，所以方程在(-2,-1)上有根，同理②④皆可，故所求区间为①②④.(2)令y=3x,y=-x2+2x+1=-(x+1)2+2,则原方程的根即为两函数图象交点的横坐标，如图，两交点的横坐标，一个小于0，一个等于0，故原方程有两个根，其一为负，其一为0.点评点评(1)当方程的根可能存在的区间已知时，用零点存在定理判断即