球的内切与外接问题

球的体积、表面积公式：23434R②SR①V4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.练习2422:134:11.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.课堂练习如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的体积等于圆柱体积的三分之二.O•用一个平面去截一个球O，截面是圆面222dRrrdROß•球的截面的性质：1、球心和截面圆心的连线垂直于截面2、球心到截面的距离为d，球的半径为R，则截面问题.34R.96491644S2R,)332()2R(R222OABCO,,222AOOOOAAOORt中解：在;81256)34(343433RV例.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．例题讲解球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。棱切：一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等正方体的内切球正方体的内切球的半径是棱长的一半中截面切点：各个面的中心。球心：正方体的中心。正方体的外接球正方体的外接球半径是体对角线的一半ABCDD1C1B1A1OA1AC1CO对角面正方体的棱切球切点：各棱的中点。球心：正方体的中心。ABCDD1C1B1A1O中截面.正方体的棱切球正方体的棱切球半径是面对角线长的一半.球与正方体的“接切”问题典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.33:22:1变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为.1、求正方体的外接球的有关问题例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.27)233(4,2332表解：SR43§2长方体与球长方体的外接球长方体的（体）对角线等于球直径Rcbalcba2222，则、、分别为设长方体的长、宽、高一般的长方体有内切球吗？没有。一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切。如果一个长方体有内切球，那么它一定是正方体？2、求长方体的外接球的有关问题例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为，故球的表面积为.1414变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）A.B.C.D.16202432C如何求直棱柱的外接球半径呢？（底面有外接圆的直棱柱才有外接球）（1）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求解。正四面体与球1.求棱长为a的正四面体的外接球的半径R.226.4Ra将正四面体放到正方体中，得正方体的棱长为a,且正四面体的外接球即正方体的外接球，所以＝2.求棱长为a的正四面体的棱切球的半径R.24Ra＝正四面体的外接球和棱切球的球心重合。3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.rShSV全面积底面积3131ar126ShSr底面积全面积14SrSh底面积全面积14rh正四面体的外接球和内切球的球心为什么重合？？63ha正四面体的外接球和内切球的球心一定重合R:r=3:1ar12664Ra＝24Ra＝正四面体的内切球,棱切球,外接球三个球心合一3:1:33半径之比为：1:2:3PABCR.正四面体的外接球还可利用直角三角形勾股定理来求D·●●O●●BDA1OMROPABCDKH.正四面体的内切球还可利用截面三角形来求O1ABEO132F求棱锥外接球半径常见的补形有：正四面体常补成正方体；三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长（正）方体；三组对棱（两条棱所在任意平面都不平行）分别相等的三棱锥可补成长（正）方体；侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱总结SA=BCSC=ABSB=AC小结2求棱锥外接球半径的方法：（1）补形法（适用特殊棱锥）（2）勾股定理法（通法）关键是找球心，画出截面图，构造与R有关的直角三角形。1.已知长方体的长、宽、高分别是、、1，求长方体的外接球的体积。35变题：2.已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。ACBPO1、正多面体的内切球和外接球的球心重合2、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合3、体积分割是求内切球半径的通用做法4．半径为R的球的外切圆柱的表面积是________．解析：外切圆柱的底面半径为R，高为2R.答案：6πR2【典例】(2012·新课标全国卷)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为()(A)(B)(C)(D)26362322A2.(2013·昆明模拟)一个几何体的三视图如图所示，它们都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积等于()(A)(B)(C)π(D)2π2232B