球的内切与外接问题讲课

二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。一、复习球体的体积与表面积343VR球①24SR球面②解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空间“接切”转化为平面“接切”问题正方体的内切球正方体的内切球的半径是棱长的一半正方体的外接球正方体的外接球半径是体对角线的一半ABCDD1C1B1A1O正方体的棱切球正方体的棱切球半径是面对角线长的一半球与正方体的“接切”问题典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.1.已知长方体的长、宽、高分别是、、1，求长方体的外接球的体积。35变题：2.已知球O的表面上有P、A、B、C四点，且PA、PB、PC两两互相垂直，若PA=PB=PC=a，求这个球的表面积和体积。ACBPO四面体与球的“接切”问题典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.思考：若正四面体变成正三棱锥，方法是否有变化？1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法O1ABEOO1ABEO1例、正三棱锥的高为1，底面边长为内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。62232过侧棱AB与球心O作截面(如图)在正三棱锥中，BE是正△BCD的高O1是正△BCD的中心，且AE为斜高62BC21EO3AE且26243362213S全3669O1ABEOO1ABEO123例、正三棱锥的高为1，底面边长为内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。62设内切球半径为r，则OA=1－r作OF⊥AE于FF∵Rt△AFO∽Rt△AO1E312rr26r6258S球O1ABEO132θ33sin36cos在Rt△AO1E中sincos12tan23在Rt△OO1E中26OO16258S球例、正三棱锥的高为1，底面边长为内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。621624331V2BCDA26r6258S球例、正三棱锥的高为1，底面边长为内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积。62OABCD设球的半径为r，则VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD32全Sr31r3223内切球全多面体rS31V球的表面积与体积正四棱锥S—ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为________．变题[教师选讲]已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a.(1)求它的外接球半径；(2)求它的内切球半径．作业球的表面积与体积正四棱锥S—ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为________．•【思路点拨】根据球截面性质找出球半径与截面圆半径和球心到截面距离的关系，求出球半径．【解析】如图所示，AB＝BC＝CD＝DA＝SA＝SB＝SC＝SD＝2，O为球心，球的半径为R，SO⊥平面ABCD于M点，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，DM＝AM＝22·2＝1，SM＝SA2－AM2＝2－1＝1，在Rt△AOM中AO2＝OM2＋AM2，即R2＝1＋(R－1)2，解得R＝1，∴球的体积为43πR3＝43π.【答案】43π[教师选讲]已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a.(1)求它的外接球半径；(2)求它的内切球半径．【解析】如图．(1)设外接球的半径为R，球心为O，则OA＝OC＝OS，所以O为△SAC的外心，即△SAC的外接圆的半径就是球的半径．∵AB＝BC＝a，∴AC＝2a.∵SA＝SC＝AC＝2a，∴△SAC为正三角形．∴R＝23SO＝23×32×2ª＝63a.因此R＝63a.(2)设内切球的半径为r，作SE⊥底面于E，作SF⊥BC于F，则有SF＝SB2－BF2＝(2a)2－a22＝72a，S△SBC＝12BC·SF＝12a·72a＝74a2，S棱锥全＝4S△SBC＋S底＝(7＋1)a2.又SE＝SF2－EF2＝72a2－a22＝62a，∴V棱锥＝13Sh＝13a2·62a＝66a3.根据13r·S全＝V棱锥，有r＝3V棱锥S全＝3×66a3(7＋1)a3＝42－612a.(12分)正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的全面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．•【思路点拨】(1)利用特征三角形求斜高即可；•(2)抓住球心到正三棱锥四个面的距离相等求球的半径．【规范解答】(1)底面正三角形内中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面积的斜高为12＋(2)2＝3.2分∴S侧＝3×12×26×3＝92.4分∴S全＝S侧＋S底＝92＋12×32×(26)2＝92＋63.6分(2)设正三棱锥P—ABC的内切球球心为O，连结OP、OA、OB、OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP—ABC＝VO—PAB＋VO—PBC＋VO—PAC＋VO—ABC＝13S侧·r＋13S△ABC·r＝13S全·r＝(32＋23)r.又VP—ABC＝13×12×32(26)2×1＝23，∴(32＋23)r＝23，得r＝2332＋23＝23(32－23)18－12＝6－2.8分∴S内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.10分V内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.12分