球的表面积和体积

1.3.2球的表面积和体积球人类的家－－地球人类未来的家－－火星探索火星的航天飞船如果用油漆去涂一个乒乓球和一个篮球，且涂的油漆厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？实际问题一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？实际问题怎样求球的表面积和体积？提出问题球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？mVVm实验方法h实验：排液法测小球的体积实验方法h实验：排液法测小球的体积实验方法小球的体积等于它排开液体的体积曹冲称象H假设将圆n等分，则n=6n=12A1A2OA2A1AnO1n3221OAAOAAOAASSSS正多边形)(2113221AAAAAApn正多边形pC21圆正多边形时，当CCRpn,2221RRRS圆pA3回顾圆面积公式的推导温故知新割圆术早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”．他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”．这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”．这是世界上最早的“极限”思想．极限思想,21RRr,)(222nRRr已知球的半径为R,用V表示球的体积..)2(223nRRrAOAOB2C2r2r3r1球的体积OR)1(inR半径：层“小圆片”下底面的第i.,2,1,)]1([22niinRRriirOA球的体积nininRnRrVii,2,1],)1(1[232niinRRri,,2,1,)]1([22nVVVV21半球])1(21[22223nnnnR]6)12()1(1[23nnnnnnR]6)12)(1(11[23nnnR球的体积]})1(1[]21[]11[1{222223nnnnnR6)12()1()1(21222nnnn]6)12)(11(1[3nnRV半球.01,nn时当.343233RVRV从而半球334RVR的球的体积为：定理：半径是球的体积在球的体积公式的推导过程中，使用了“分割、求近似值、再将近似值转化为球的体积”的方法：球的体积即先将半径n等分；再求出每一部分体积的近似值，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积；当n无限变大时，就可得到半球的体积．球的体积例4某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的．如果是实心的，请你计算出它的内径（π取3.14，结果精确到1cm）．解：由于外径为50cm的钢球的质量为：)(517054250349.73g街心花园中钢球的质量为145000g，而145000517054，所以钢球是空心的．球的表面积例4某街心花园有许多钢球（钢的密度是7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径等于50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还是空心的．如果是实心的，请你计算出它的内径（π取3.14，结果精确到1cm）．解：)(517054250349.73g设球的内径是2xcm，那么球的质量为：,42.112393x解得：.4.22x.8.442x答：钢球是空心的．其内径约为45cm．球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式．球的表面积第一步：分割球面被分割成n个网格，表面积分别为：nSSSS,,321，，则球的表面积：nSSSSS321则球的体积为：iV设“小锥体”的体积为iVnVVVVV321iSOO球的表面积第二步：求近似和ih由第一步得：nVVVVV321nnhShShShSV31313131332211iiihSV31OiSiVO球的表面积第三步：化为准确和RSVii31如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥RSRSRSRSVni3131313132RSSSSSRni31)...(3132334RV又球的体积为：RiSiVihiSOiV,31343RSRRhi的值就趋向于球的半径球的表面积.42RS从而例5如图表示一个用鲜花作成的花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1)？解：圆柱形物体的侧面面积,3.9311.321mS半球形物体的表面积为,6.1211.32222mS所以.9.106.13.9221mSS.16351509.10朵答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．球的表面积(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍.(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍.(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是.(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是.2422:134:1随堂练习影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径.1.球的体积和表面积的推导方法：分割求近似和化为准确和知识小结2.影响球的表面积及体积的只有一个元素，就是球的半径.中教育星软件技术有限公司2006年3月制作球的表面积和体积