线段的定比分点公式的应用(精品绝对好)

第1页共18页线段的定比分点公式的应用一、难点知识剖析（一）、在运用线段的定比分点坐标公式时，要注意(x1，y1)是起点的坐标，(x2，y2)是终点的坐标，(x，y)表示分点的坐标，在每个等式中涉及到四个不同的量，它们分别表示三个坐标和定比λ，只要知道其中任意三个量，便可求第四个量．（二）、如何确定定比分点坐标公式中的λ1、由坐标确定：分点坐标终点坐标起点坐标分点坐标yyyyxxxx21212、由12PPPP确定：先求||||||21PPPP（不能错误的表示为21PPPP）再据PP1与2PP的方向决定λ的符号．例例：：设设点点PP1（（),11yx，，),(222yxP，，点点PP是是直直线线21PP上上任任意意一一点点，，且且满满足足12PPPP，求求点点PP的的坐坐标标..（三）、特殊情况的分析1、λ＝0时，分点P与起点P1重合2、λ＝1时，分点P为线段P1P2的中点3、λ不可能等于－1（若λ＝－1，则P1、P2重合，与P1P2为线段矛盾）∴λ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)4、无论λ取何实数（当然λ≠－1）分点P不可能与终点P2重合二、例题讲解例1、已知点A分有向线段的比为2，求下列定比λ：（1）A分的比；（2）B分的比；（3）C分的比．第2页共18页分析：本题直接用公式计算不太方便，若画出图表就一目了然．解答：因为A分的比为2，所以A在BC之间，且|BA|＝2|AC|（如图所示）例2、已知P分所成的比为λ，O为平面上任意一点，．求证：线段定比分点向量公式证明：∵P分所成比为λ，例3、已知三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D点内分的比为，E在BC上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求向量的坐标．（提示：三角形面积等于两边与其夹角正弦乘积的一半）分析：要求的坐标，就要求D点的坐标，也要求E点的坐标．由于E点在线段BC上，且已知B、C两点的坐标，因此我们只要能确定E分有向线段的比，应用定比分点公式就能求出E点的坐标，将E点坐标减去D点的坐标就可得到向量．解答：如图所示，第3页共18页∵D点内分的比为，设E分有向线段的比为λ，第4页共18页由题设条件可知：例5．已知a、b不共线，baOA，ba2OB，将符合下列条件的OC向量写成banm的形式：（1）点C分AB所成的比2，求OC；（2）点C分BA所成的比3，求OC.分析：借助定比分点的概念解题。解：（1）由CBAC，得OCOBOAOC，即OBOAOC111.第5页共18页故baba23231212211OBOAOC，即ba3135OC.（2）由上可知baba3132311111OAOBOC即ba2211OC.小结：本题从表面上看不涉及分点的坐标问题，但利用定比分点的概念，导出了OBOAOC111这个与定比有关的等式，这实际上是定比分点坐标公式的另一种表现形式，即向量形式.值得注意的是，这个等式在解决与向量有关的一些数学问题时很有用处。例6、如图所示，已知直线l过点)9,4(P和点)3,2(Q，l与x轴，y轴交于M点和N点．求：点M分PQ所成的比，点N的坐标．分析：设点)0,(0xM，则可由MQPMyyyy可求得的值．同样方法可求N点分PQ所成的比再用定比分点坐标公式，求得Ny．解：设点)0,(0xM)9,4(P，)3,2(Q，点M分PQ所成的比303)9(0设N点分PQ所成的比为，同理可得2121329NyN点坐标是)1,0(小结：记住定比分点坐标公式，要注意起点坐标在前不乘以．本题也可以这样求点M分PQ所成的比，第6页共18页设)0,(0xM，根据定比分点坐标分式得.139,1240Ox解之.3,210x在求时也要注意讨论如已知点P在直线MN上，且PNMP2，求点P分MN所成的比．（1）当P点在M、N之间时，2PNMP；（2）当P点在MN延长线上时，2PNMP.例7、如图所示，已知矩形ABCD中，)1,2(A，)4,5(B，)6,3(C，E点是CD边的中点，连结BE与矩形的对角线AC交于F点，求F点坐标．分析：F点在AC上，若知道F点分AC所成的比，则可根据定比分点坐标公式可求F点坐标，由题意知ABF∽CEF且CEAB2，由此知CFAF2，即F点分AC所成的比2．解：四边形ABCD是矩形，E是CD边的中点，ABF∽CEF，且CEAB2CFAF2即点F分AC所成的比2设),(yxF．由)1,2(A，)6,3(C，根据定比分点坐标公式得3821322x，31321621yF点坐标是)313,38(小结：同理点F分BE所成的比2，由此可求得E点坐标是)29,23(，再由中点坐标公式可求得D点坐第7页共18页标是)3,0(．在直角坐标系中，求点的坐标，定比分点坐标公式是重要的思想和和工具．E点和D点坐标，也可根据ABEC21和ABDC求得，当然F点坐标也可根据FCAF2求得，即)6,3(2)1,2(yxyx，所以).6(21),3(22yyxx解之38x，313y．例8．若直线2axy与连接1,2P、2,3Q两点的线段有交点，求实数a的取值范围．分析：当直线与线段PQ有交点时，这个交点分有向线段PQ所成的比不小于0，从而得到关于a的不等式，但应注意考虑端点的情况．解：当直线过P点时，有122a，∴23a.当直线过Q点时，有223a，∴34a.当直线与线段PQ的交点在P、Q之间时，设这个交点M分PQ的比为，它的坐标为00,yxM，则1320x，1210y.而直线过M点，则2132121a，整理，得4332aa.由0，得04332aa，解得34a或23a.故所求实数a的取值范围为34a或23a。小结：(1)定比的符号是求解本题的关键．应当注意，当点P在线段21PP上时，0；当点P在线段21PP或12PP的延长线上时，0.切不可将之混为一谈．（2）恰当地利用定比的几何意义，可以解决某些看似与定比分点坐标公式无关的数学问题．例9．已知ABC的三顶点坐标分别为1,1A，3,5B，5,4C，直线ABl//，交AC于D，且直线l平分ABC的面积，求D点坐标．分析：本题是平面几何知识与定点分点公式的综合应用题，解题时，应先确定D分CA的比，再利用公式求解．第8页共18页解：设直线交BC于E，依题意，2:1:CABCDESS，又因为DE//AB，故CDE∽CAB，所以2:1:CACD，12:ADCD．即点D分CA的比为12．设D的坐标为yx,，由定比分点公式有2238121124x，225121125y．∴D点的坐标为225,2238．小结：求解定比分点坐标的关键是求出定比的值．求的值，除注意的符号外，还常常用到平面几何知识，如相似形的性质，比例线段等等．例10．已知3,2A，5,1B，且ABAC31，ABAD3，求点C、D的坐标.分析：借助线段的定比分点式求解.解：设11,yxC，22,yxD.由ABAC31，可得CBACAC31，即CBAC21，21.运用定比分点公式可知.3112115213,1211121211yx仿上可求得72x，92y综上可知，欲求C、D两点坐标为311,1C，9,7D.小结：对于本题欲求C点的坐标时，也可以由ABAC31，得到ACBA3，从而由定比公点公有第9页共18页,31353,3131211yx得11x，3111y.同理，也可以由ADBA31求得D点坐标，这表明，我们在利用定点比分点公式时，既要注意使用公式的前提，同时也要注意灵活地使用公式。例11、已知ABC的三个顶点的坐标为),6,3(),0,4(),0,0(CBA，边CABCAB,,的中点分别为FED,,，且ABC的重心为G，求：（1）CDBFAE,,；（2）GCGBGA,,；（3）CDBFAE；（4）GCGBGA．分析解此题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点FED,,的坐标，再利用三角形重心G的坐标公式求得G的坐标，最后利用平面向量坐标表示及运算法则计算所求的向量．解∵),6,3(),0,4(),0,0(CBA，且FED,,分别为CABCAB,,的中点，G为ABC的重心，∴)3,23(),3,27(),0,2(FED．重心3600,3340G，即2,37G．（1）)3,27()03,027(AE)3,25()03,423(BF)6,1()60,32(CD（2）)2,37()20,370(GA)2,35()20,374(GB，)4,32()26,373(GC（3）)0,0()633,12527()6,1()3,25()3,27(CDBFAE0CDBFAE（4）)0,0()422,323537()4,32()2,35()2,37(GCGBGA第10页共18页0GCGBGA小结：本题中的（3），（4）具有一般性，我们将在例5中作一般结论的推证，另外结论（3）与（4）本身有着必然的联系，因为G为ABC的重心，AE是ABC的中线，故EGA,,三点共线，而且AEAG32，即AEGA32，同理CDGCBFGB32,32．故0)(32CDBFAEGCGBGA．例12.已知1,1ab，求证：11abab。证明：设(1),(1),()1abABPab是数轴上的三点，P分AB的比是，则111abab(1)1(1)(1)11(1)(1)11abababababababababab1,10,abP是AB的内分点，1abab在-1与1之间，即11abab。例13.已知,0,1,abcca+bcx=且1+c求证：[,]xab。证明：设(),(),()AaBbPx是数轴上的三点，P是AB的定比分点，则定比101abcaxaccabcbxbcP是AB的外分点，则[,]xab。对于函数y=f(x),如果能够化为)1)(()(1)(xtxtxtnmy，就与121yyy的形式完全相同（只须把t(x)看成），用数轴上两点P1、P2分别表示m、n，不妨设mn，P点表示y，且)(21xtPPPP，则当t(x)0时，myn;当t(x)=0时，y=m;当t(x)0时，ym或ym。第11页共18页例14.已知二次函数f(x)满足条件：(1)f(-1)=0；(2)对一切xR，都有21)(2xxfx成立，求f(x)的解析式。本题如果应用函数、根的判别式、基本不等式等知识来解题的话,过程比较繁琐，有些学生因为综合能力差，听完讲解后仍然似懂非懂，但如果运用定比分点公式解题则非常简单：解：由21)(,2xxfxRx,可设数轴上的点P1(x,0)、P(f(x),0)，)021(22，xP,且21PPPP，则f(x)=1)21(2xx，因为f(－1)=0,所以01)211(1,解得＝1，所以412