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第十七章勾股定理17.1勾股定理1.熟练掌握勾股定理的内容。2.能利用勾股定理解决实际问题。这就是本届大会会徽的图案．你见过这个图案吗？你听说过勾股定理吗？这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．我们也来观察右图中的地面，看看有什么发现？ABC1.你能发现图中的三个正方形的面积之间有什么联系吗？2.你能用直角三角形的边长表示正方形的面积吗?3.你能发现图中的等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?数学家毕达哥拉斯的发现：正方形A、B、C的面积关系为：SA+SB=SC等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。ABCabca2+b2=c2让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系A的面积(平方单位)B的面积(平方单位)C的面积(平方单位)图2-1图2-29918448ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图2-1图2-2SA+SB=SC你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。cSA+SB=SCa设：等腰直角三角形的三边长分别是a、b、c猜想:两直角边a、b与斜边c之间的关系？a2+b2=c2BAbC对于等腰直角三角形有这样的性质：那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？两直角边的平方和等于斜边的平方思考ABC图3-1网格中的直角三角形是否也具有这种性质呢？（网格中每个小方格的面积都是1）正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积16259正方形C的面积还可以怎么计算？与同伴交流交流。SA+SB=SC网格中的直角三角形是否也具有这种性质呢？（网格中每个小方格的面积都是1）正方形A的面积正方形B的面积正方形C的面积4139SA+SB=SCABC图3-2同样你会发现正方形A、B、C的面积有什么样的关系呢?SA+SB=SC设：直角三角形的三边长分别是a、b、ca2+b2=c2猜想:两直角边a、b与斜边c之间的关系？ABABCABCCcbaa2+b2=c2acb如果直角三角形的两直角边长分别是a、b，斜边长是c，那么a2+b2=c2。命题：股弦勾┏直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如何来证明呢？朱实黄实朱实朱实朱实看左边的图案，这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（黄色）．试一试：形全等的直角三角用四个形和一个小正方形拼成一个大正方S大正方形S小正方形4S直角三角形化简得：c2=a2+b2＝＋abcc2＝(b－a)2＋4×ab21还可以怎样拼图来证明呢?(a+b)2＝c2＋4×ab21bbbccccaaaabS大正方形S小正方形4S直角三角形＝＋化简得：a2+b2=c2定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。勾股定理:(毕达哥拉斯定理)如果直角三角形的两直角边长分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么a2+b2=c2。如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则a2+b2=c2ABC股b勾a弦c┏练一练：1、求下列图中字母所表示的正方形的面积=62522581B=144225400A2、求出下列直角三角形中未知边的长度68x5x13解：由勾股定理得：x2=36+64x2=100x2=62+82∴x=10∵x2+52=132∴x2=132-52x2=169-25x2=144∴x=12∵x0∵x05x（1）如图，分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，容易得出S1，S2，S3之间的关系为．S3S2S1BAC123SSS（2）变式：你还能求出S1，S2，S3之间的关系式吗？S1S2S35.在一个直角三角形中,两边长分别为3、4,则第三边的长为____________。5或3.在等腰Rt△ABC中,a=b=1,则c=＿＿。4.在Rt△ABC中,∠A=30°，AB=2，则BC=＿，AC=＿＿＿。CAB第4题图√2√3√71B第3题图abcCA解：在Rt△ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：6.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长．1m2mACBD2222125mACABBC一个门框尺寸如图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？ABC1m2m∵木板的宽2.2米大于1米，∴横着不能从门框通过；∵木板的宽2.2米大于2米，∴竖着也不能从门框通过．∴只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？例1:有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）50dmABCD2222ACABBC5050500071(dm)解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=BC=50dm,∴由勾股定理可知：【活动】如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，测得CB=60m，AC=20m，你能求出A,B两点间的距离吗？（结果保留整数）如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。接警后“119”迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。现在需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米吗？9m24m?议一议：例2：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m吗？ABCDE解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°,∴AC2+BC2＝AB2，即2.42+BC2＝2.52，∴BC＝0.7m.由题意得：DE＝AB＝2.5m，DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2(m).在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°,∴DC2+CE2＝DE2，即22+CE2＝2.52,∴CE＝1.5m,∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m.答：梯子底端B不是外移0.4m.练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①求梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C，请同学们:猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值是多少?（结果保留两位小数）BDCOA例3：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？CAEBDx25-x解：设AE=xkm，根据勾股定理，得AD2+AE2=DE2BC2+BE2=CE2又∵DE=CE∴AD2+AE2=BC2+BE2即：152+x2=102+（25-x)2答：E站应建在离A站10km处。∴X=10则BE=（25-x）km1510例4:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题.这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少尺？DABC解:设水池的深度AC为X尺,则芦苇高AD为(X+1)尺.根据题意得:BC2+AC2=AB2∴52+X2=(X+1)225+X2=X2+2X+1X=12∴X+1=12+1=13(尺)答:水池的深度为12尺,芦苇的长度为13尺.例5:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长.ABCDFE解:设DE为X,X(8-X)则CE为(8－X).由题意可知:EF=DE=X,XAF=AD=10.10108∵∠B=90°，∴AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102，∴BF＝6，∴CF＝BC－BF＝10－6＝4.∵∠C=90°，∴CE2+CF2＝EF2，(8－X)2+42=X2，64－16X+X2+16=X2，80－16X=0，16X=80X=5在RtADE中，∠D=90°，∴AE2=AD2+DE2，∴AE2=102+52=125,∴AE=125=55.1.一架长为5的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这时梯子下端距离墙的底端为3，若梯子顶端下滑了1,则梯子底端将外移_____.2.如图，要在高为3m,斜坡为5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需________m3.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（）A.不变B.扩大到原来的3倍C.扩大到原来的9倍D.减小到原来的1/3ABC17B本节课我们主要学习了勾股定理的实际应用,关键是将实际问题转化为数学问题,再用勾股定理等知识来解答.１、本节课我们经历了怎样的过程？经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。２、本节课我们学到了什么？通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。３、学了本节课后我们有什么感想？很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。作业：1.阅读课本P64---66。2.上网查有关勾股定理的历史资料。3.课本P69页习题18.1第1.2题。理想是指路明灯.没有理想，就没有坚定的方向，而没有方向，就没有生活.——托尔斯泰