抽签摸奖有先后

抽签摸奖有先后，对各人公平么？315700浙江省象山中学张宗余在新教材第十章“概率”一节中，安排两篇材料，其中有一篇是“抽签有先后，对各人公平吗？”。恰巧期间象山举行为期3天的2600万福利彩票大抽奖，笔者结合本节内容，以摸奖的问题为背景，设计了这节阅读课，促使学生对情景的感性认识，使之课堂之初就激起了学生对问题讨论，将研究性学习引进课堂。问题：“何时去摸奖？抽奖有先后，对各人公平吗。”将这一问题先抛于学生。“后抽人是否知道前抽人的结果，”当然的成为学生争议的关键点，让学生自行设计问题解决，“授之与鱼，不如授之与渔。”，下面是两组学生设计的方案：方案一：前提是后抽人不知道先抽人抽出的结果。特例1：从5张彩票中仅有1张中奖彩票，问摸奖先后对结果有影响吗？学生分析：对第1个抽票者来说，他从5张票中任抽1张，得到奖票的概率511P。为了求得第2个抽票者抽到奖票的概率，我们把前2人抽票的情况作一整体分析，从5张票中先后抽出2张，可以看成从5个元素中抽出2个进行排列，它的种数是22A，而其中第2人抽到奖票的情况有1411AC种，因此，第2人抽到奖票的概率：512511142ACAP。通过类似的分析，可知第3个抽票者抽到奖票的概率513524113AACP。如此下去，我们可求得第4个抽票者和第5个抽票者抽到奖票的概率也都是51。纵向推广1：一般地，如果在n张票中有1张奖票，n个人依次从中各抽1张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，那么第i个抽票者（i=1，2，…，n）抽到奖票的概率：nAACPnnnni11111。即每个抽票者抽到奖票的概率都是n1，也就是说，抽到奖票的概率与抽票先后顺序无关。特例2：如果在5张票中有2张奖票，5个人依次从中各抽1张，我们来研究一下各个抽票者抽到奖票的概率。显然第1个抽票者抽到奖票的概率是52，下面来求第2个抽票者抽到奖票的概率，在前2个抽票者抽票的所有25A种情况中，第2个抽票者抽到奖票的情况有1411AC种，因此，第2个抽票者抽到奖票的概率是：522514122AACP。同理，可求得以后各个抽票者抽到奖票的概率也都是52。纵向推广2：一般地,假定在n张票中有2张奖票（n≥2）,n个人依次从中各抽一张,且后抽人不知道先抽人抽出的结果，那么第i个抽票者（i=1,2,…,n）抽到奖票的概率是：nAACPinini21112。这就是说，每人抽到奖票的概率者是n2，与抽票先后顺序无关。推广到一般,假定在n张票中有k张奖票(n≥2),n个人依次从中各抽一张,且后抽人不知道先抽人抽出的结果,那么第i个抽票者(i=1,2,…,n)抽到奖票的概率是：nkCACPininki111。显然学生提出的方案与例题的设想与课本的阅读材料雷同，但在设计过程中，从特殊到一般，从类比到模仿，从归纳到猜想，处处都体现学生探索与创新的精神。而且学生的奇思妙想，往往教师所料不及的。我们还可以从另外一个角度来考虑这一问题，我们将n个彩票随机地放到编号为1~n的盒子中，其中k张中奖,一盒一张（如图）。事实上，n个张随机地放到编号为1~n的盒子中，一盒一签，共有nnA种可能放法，第i盒内有中奖票的可能放法为111nnkAC种，故第i内有中奖票的可能性为nkAACnnnnik11，即每个盒子有中奖的可能性是一样的。教学过程中，引导学生根据自己的体验，并用自己的思维方式重新创造出有关的数学知识。在特例1中，学生用“↙”表示“没有抽到中奖”，“↘”表示“抽到中奖”。画出图2所示的树形图，由图可知，第一或第二、三、四、五次抽到彩签的可能性均为51，即不论先抽还是后抽，抽到可能性均为51，抽签次序不会影响抽签的结果。图2用树形图，使抽象问题具体化、直观化，其实质是表示事件A在事件B发生下的条件概率。获得奖票的概率可用下面的概率乘法公式计算：P（A1·A2·…·An）=P（A1）·p（A2/A1）·…·P（An/A1·A2·…·An-1），其中P（A1/A2）1234…i…n表示事件A2在A1发生下的条件概率，依此类推，作为例子，可算得第2个抽票者获得奖票的概率是：514154)/()()(12121AAPAPAAP第3个抽票者获得奖票的概率是：.51314354)/()/()()(213121321AAAPAAPAPAAAP横向推广1：1．有5把钥匙，其中有1把可以打开房门，逐把试插，第三次打开房门的概率是多少？分析：将问题转化为抽奖模型“5张彩票，其中仅1张中奖，第3次抽到奖的概率是多少？”故51)(AP。2．有10个白球，1个黑球，逐个抽取，第5次抽到黑球的概率是多少？分析：将问题转化为抽奖模型“11张彩票，其中仅1张中奖，第5次抽到奖的概率是多少？故111)(AP。横向推广2：1．有5把钥匙，其中有2把可以打开房门，逐把试插，第三次打开房门的概率是多少？分析:将问题转化为抽奖模型:“有5张彩票，其中仅2张中奖,第三次中奖的概率。”故52)(AP。2．一批产品有8个正品和2个次品，任意不放回地抽取两次，求第二次抽出次品的概率？分析：记事件A为“第二次抽出次品”。将问题转化为抽奖模式，即有10把彩票，其中有2张是奖票，逐个抽取，求第二次抽到奖票的概率？故51102)(AP。纵向推广3：彩票模式的推广，有m+n张彩票，其中n张是奖票，逐个抽取，第k次取到奖票的概率为：nmnAACAPnmnmnmnmn111)(。方案二：前提后抽人知道先抽人抽出的结果。抽签分先后，真的公平吗？特例3：有5张彩票（可当场对奖）其中有2张是有奖的，由甲、乙、丙、丁戊5人依次各抽一张，求：（1）甲、乙都中奖的概率；（2）只有乙中奖的概率；（3）若甲、乙均中奖，则丙、丁、戊中奖的概率各为多少？解：（1）因为先由甲抽，所以甲中奖的概率为52，当甲中奖后，剩下4张彩票中有一张是有奖的，所以乙中奖的概率为41，因此甲、乙都中奖的概率为1014152。（2）因为只有乙中奖，意味着甲先抽没有中奖，然后剩下4张彩票在有2张有奖的情况下去抽奖，甲没有中奖的概率为53，然后乙中奖的概率为42，所以10343532P。（3）当甲、乙两人均把有奖的彩票抽去，剩下3张无论抽哪一张均无奖，因此，当甲、乙均中奖时，丙、丁、戊中奖的概率均为0。从此例可看出，当后抽者知道了先抽者抽出的结果后，每个人中奖的概率就不尽相同。因此，抽奖时当顺序有先有后，若后抽人知道了先抽人抽出的结果，那么抽奖者中奖的概率有所不同，也就是说，由于抽奖的顺序而影响到其公平性。（发表于2003年9期《数学教学》）