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汪晓勤华东师范大学数学系数学文化MathematicalCulture第2讲文明足迹September26,2013Archimedes(287B.C.-212B.C.)2-1海边的奇思地球上共有多少顆沙粒？2-1海边的奇思《计算之书》第12章：棋盘上的数列满足：任意一项等于它前面一项的两倍。求棋盘上数列各项的和。答案为18,446,744,073,709,551,615。这个数字实在太大，斐波纳契被迫给出一种记法：先算出棋盘前两行之和，再加1，得65536；将65536比占的金币装入一个保险箱，将65536个这样的保险箱放进一座房子，再将65536座这样的房子放进一座城市。于是，65536座这样的城市所含的金币数减去1，就是棋盘上所有数字之和。2-1海边的奇思•佛陀年轻时代的故事7原子=1极微尘7极微尘=1微尘7微尘=1尘，……………………1里长度中共有717个原子2-1海边的奇思•《佛本行集经》卷12：悉达多太子讲授“微尘数”的算法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺。合两半尺，成于一尺，二尺一肘，四肘一弓，五弓一杖。其二十杖，名为一息；其八十息，名拘卢奢；八拘卢奢，名一由旬。于此众中，有谁能知，几许微尘成一由旬？2-1海边的奇思七极微为一微量，积微至七为一金尘，积七金尘为水尘量，水尘积至七为一兔毛尘，积七兔毛尘为羊毛尘量，积羊毛尘七为一牛毛尘，积七牛毛尘为隙游尘量，隙尘七为虮，七虮为一虱，七虱为穬麦，七麦为指节……《俱舍论》卷12（玄奘译）2-2从自然数到人造数2-2从自然数到人造数希帕索斯（Hippasus,公元前5世纪）发现了不可公度量的存在，对毕达哥拉斯学派的哲学造成毁灭性的打击，因而被抛进大海处死。●当数学家研究正方形对角线和边长的比值时，无理数诞生了。2112-2从自然数到人造数●希帕索斯的证明（反证法）()()2222222:1:,122422,1αβαβαβααγγββγβαβ==⇒=⇒=⇒=⇒=⇒⇒≠设，为偶数，设为偶数，矛盾！2-2从自然数到人造数GustavFechner(1801-1887)2-2从自然数到人造数宽长比最佳矩形（%）最劣矩形（%）FechnerLaloFechnerLalo1.000.830.800.750.690.670.620.570.500.403.011.70.21.02.01.32.59.57.75.620.611.035.030.320.06.37.58.01.515.327.822.519.716.69.49.12.59.11.22.50.40.60.00.00.80.62.512.535.726.6100.0100.0100.0100.12-2从自然数到人造数0%5%10%15%20%25%30%35%40%1.000.830.800.750.690.67Phi0.570.500.402-2从自然数到人造数2-2从自然数到人造数2-2从自然数到人造数门牙上的黄金比例2-2从自然数到人造数两眼之间的距离与一只眼睛的宽度之比为黄金比2-2从自然数到人造数偏长（1.618）标准（=1.618）偏短（1.618）breathingproblemsjawproblems2-2从自然数到人造数370.61823CC°×≈°2-2从自然数到人造数Thales（前6世纪）2-3古老的几何定理行船测距拿破仑军队在行军途中为一河流所阻，一名随军工程师用运用泰勒斯的方法迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。2-3古老的几何定理在抗美援朝战争中，一名志愿军战士利用泰勒斯的方法测量敌营的距离。2-3古老的几何定理学生在课上演示泰勒斯的方法2-3古老的几何定理DCBAEABCDDCBA学生在课上给出的测量全等三角形方案2-3古老的几何定理2-3古老的几何定理S1:所有的话题都让学生感兴趣，提高了上课的效率，多年之后故事会永远留在头脑中。在校外上辅导班时，用类似的问题去问别的学校的同学，他们都对“全等三角形如何用”没概念，感觉很骄傲，有种博士生的感觉，在向其他同学讲授时，很津津乐道。S2:不会影响学习成绩，更不会影响学习时间。这样的课在我们理论的基础上多一种知识的了解，而且这个了解不是可有可无的而是有多有少的。在正课当中，无论从哪个角度讲解都会让我们对知识印象更深，增加对知识的理解，当然一定要以正课为主。2-3古老的几何定理T1：这样的课教师和学生都很感兴趣，很生动，学生的积极性完全调动起来，是数学与实际结合最好的范例。T2：最好能资源共享，多展示几节这样的课，让学生更好地体会数学与生活紧密相关，让学生发现生活中的数学问题，并用学过的知识解决它。如果所有的课都能以这种形式来上，那么学生一定都会喜欢数学课!2-4古今多少事，都在勾股中真理：她的标志是永恒一旦愚昧的世界见到她的光芒毕达哥拉斯定理今天依然正确犹如初次被传授给兄弟会一样女神们以这束光芒相馈赠毕达哥拉斯回祭一份厚礼一百头牛，烤熟切片表达对她们的无限感激HeinrichHeine(1797-1856)从那一天起，当它们猜测一个新的真理会被揭去面纱在那恶魔似的围栏里，一阵阵哀鸣立即爆发无力阻挡真理发现者的暴行毕达哥拉斯让它们永不安宁它们瑟瑟颤抖着绝望地闭上了眼睛●毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯是如何发现勾股定理的？2-4古今多少事，都在勾股中ABCDEFGHKL欧几里得的证明新娘的坐椅2-4古今多少事，都在勾股中赵爽的证明2-4古今多少事，都在勾股中•《九章算术》勾股术曰：“勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。”刘徽对勾股定理的证明（清李锐复原）《九章算术》中的勾股定理2-4古今多少事，都在勾股中•梅文鼎（1633-1721）2-4古今多少事，都在勾股中LeonardodaVinci(1452–1519)PNMGFEDCBA2-4古今多少事，都在勾股中HenryPerigal(1801-1898)墓碑上的勾股定理2-4古今多少事，都在勾股中H.Perigal的水车翼轮法2-4古今多少事，都在勾股中2-5海岛奇迹2-5海岛奇迹2-5海岛奇迹萨莫斯隧道长1036米，宽1.8米，高1.8米。设计者：欧帕里诺斯时间：公元前530年2-5海岛奇迹●隧道式如何设计的？Napier大学Craighouse校区的纳皮尔雕像2-6英伦轶事2-6英伦轶事斯蒂菲尔（M.Stifel,1487-1567）《整数算术》（1544）012345678…1248163264128256…•等差数列中的加法对应于等比数列中的乘法；•等差数列中的减法对应于等比数列中的除法；•等差数列中的简单乘法对应于等比数列中的乘方；•等差数列中的除法对应于等比数列中的开方。2-6英伦轶事JohannWerner（1468-1522）()()()()2coscoscoscos2sinsincoscosABABABABABAB=++−=−−−加减术2-6英伦轶事1590年，苏格兰国王詹姆斯六世远航丹麦，迎娶安妮公主，途中遇风暴，在第谷天文台附近停泊，第谷向客人介绍了加减术。随行御医克莱格与1594年造访纳皮尔，告之“加减术”。纳皮尔对数（尼加拉瓜,1971）2-6英伦轶事纳皮尔（J.Napier,1550-1617）和《奇妙的对数表》(1614)2-6英伦轶事纳皮尔的对数表2-6英伦轶事纳皮尔所居住的Merchiston城堡2-6英伦轶事布里格斯（H.Briggs,1561-1630）的对数著作及书中的常用对数表2-6英伦轶事2-7天外来客仰望星空2-7天外来客1833年11月狮子座流星雨2-7天外来客流星是什么？●地球上蒸发物？●磷火（鬼火）？●………………2-7天外来客纳绥尔丁《论四边形》sin,,sin,,sinsinADEFADBABBEcRADGHADCACCGbRbBcC====⇒=Nasîred-dînal-Tûsî(1201-1274)NMHGDFECBA2-7天外来客()()()()()22500,(6371)15003602.248,22499.872.23.2,44.3,180108.004.,sinsin381.566.2cos906530.74,15ABkmRkmRABkmSADSBDASBABASASkmOSASRASRkmhθπαβγαθβθγβθα===××°≈°=∠==°∠==°∠==°−+−+=°=+==+−×°+==设则故得设则由正弦定理：得再由余弦定理得于是9.74.km2-8天人之际2-8天人之际提丢斯于1766年将数列4，7，10，16，28，52，100，196，388，772…与行星和太阳之间的相对距离联系起来，得到了一个惊人的法则——今称Titius-Bode定律。J.D.Titius(1729-1796)2-8天人之际行星Bode距离实际距离(单位:天文单位/10)水星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星冥王星47101628521001963887723.97.210.015.227.6（G.Piazzi,1801元旦）52.095.3192（Herschel,1781）3013962-8天人之际谷神星意大利天文学家皮亚齐（G.Piazzi）于1801年1月1日发现。平均直径为952km，等于月球直径的1/4，质量约为月球的1/50。德国数学家高斯（C.F.Gauss）根据皮亚齐的观测资料，计算出了谷神星的公转周期为4.6年。1801年12月31日夜，德国天文爱好者奥伯斯，再次用望远镜发现了这颗星！2-9惟一选择公元前428年冬，普拉提亚人被伯罗奔尼撒人包围。不久，城中粮食短缺，他们处于绝望之中。由于无望从雅典人那里获得援助，也没有其他安全突围的方法，他们计划弃城而去。他们打算做梯子翻过敌人的围墙，希望能杀出一条血路。梯子的高度要与敌人围墙的高度一样，为此，可以数敌人城墙上砖块的层数来计算城墙的高度。在相同的时间，很多人数了砖块的层数。问：如何确定砖块层数？2-10牛刀小试托勒密托勒密分别就空气和水、水和玻璃、玻璃和空气，对光的入射角和折射角进行测量，得出入射角与折射角成正比的错误结论。C.Ptolemy(85-165)2-10牛刀小试阿尔·海森制作仪器，测量入射角和折射角，发现托勒密的结论是错误的，但他自己未能发现折射定律。Al-Haitham(965-1038)2-10牛刀小试维特罗（ca.1270）波兰物理学家、自然哲学家和数学家维特罗在阿尔·海森的基础上进一步研究折射现象，但他仍然同样未能发现折射定律。Witelo(ca.1230-ca.1300)2-10牛刀小试开普勒（1611）开普勒在《折光》（1611）中给出：对于两种固定的媒质，当入射角（i）较小时，入射角和折射角（r）之间的关系是i=nr，（n为常数）。当光线从空气进入玻璃时，n=3/2。J.Kepler(1571-1630)2-10牛刀小试哈里奥特（1601）英国数学家哈里奥特发现了折射定律，但没有发表。T.Harriot（1560-1621）2-10牛刀小试斯内尔（1621）荷兰数学家斯内尔约于1621年独立发现折射定律，但没有发表。哈里奥特和斯内尔都是通过实验得出该定律的，而没有给出理论的推导。W.Snell(1591-1626)2-10牛刀小试笛卡儿（1637）笛卡儿在《折光》（《方法论》之附录）中发表了折射定律，但遗憾的是，他的证明却是错误的！笛卡儿是否抄袭了斯内尔，学术界尚有争议。R.Descartes(1596-1650)2-10牛刀小试费马费马对笛卡儿的折射定律进行了攻击。错误的推导怎么会得出正确的结论呢？直到24年后的1661年，费马才利用他的最小时间原理才导出了折射定律。P.Fermat(1601-1665)2-10牛刀小试莱布尼茨（1684）莱布尼茨在他的第一篇微积分论文中，小试牛刀，给出了微分的一个应用：在两种媒质中分别有点P和Q，光从P出发到