优化试验设计与数据分析.pptx

1优化试验设计与数据分析本章主要内容·单因素优选法：黄金分割法、平分法、分数法。·多因素降维法：等高线法、纵横对折法、平行线法。·各种优选法的应用范围和适用条件。2第四章优选法基础国庆来临，某商场为吸引顾客，打出了降价促销的招牌。商品的折扣越低，单件商品的利润就越低，但是销量会越大。假如说某件商品价格低至2折时，无利润可赚，不打折出售的话，顾客消费不会比平时多。为什么要采用优选法3第四章优选法基础假如你是这家店的店长，想在假期通过打折促销，尽可能赚取比平时丰厚的利润，让更多的人将商品带回家？你会怎样制定合适的折扣呢？思考问题4第四章优选法基础蒸馒头是日常生活中常做的事情，为了使蒸出的馒头好吃，就要放一定量的碱。在蒸馒头时你该放多少碱呢？5第四章优选法基础在钢铁生产的过程中，需要加入一定量的碳元素，碳元素含量高的话产出的钢硬度就大，但是可塑性低，相反，含量少的话钢的硬度就无法达到指定的标准，每吨钢中碳元素的含量应该是多少就正好符合产品要求了呢？6第四章优选法基础§2-1概述•优选法基本步骤：1）选定优化判据（试验指标），确定影响因素，优选数据是用来判断优选程度的依据。2）优化判据与影响因素直接的关系称为目标函数3）优化计算•优化（选）试验方法一般分为两类：分析法：同步试验法黑箱法：循序试验法^12^(,......)iNiyfxxxyx----试验指标----第个试验条件7第四章优选法基础§2-2单因素优选法如果在试验范围内，目标函数单调，则可以选用此法ab连续单调f(x)间断单调abf(x)一、平分法8第四章优选法基础有一条10km长的输电线路出现了故障，在线路的一端A处有电，在另一端B处没有电，要迅速查出故障所在位置.9第四章优选法基础我们用平分法来进行解答输电线路故障：分析：现在找输电线路故障所在位置，我们只需在AB之间的任意点C做检验，就能根据点C是否有电，判断出故障在哪一段，从而缩小故障范围，而不需要做两个实验进行比较.那么，如何选取检查点才能迅速找出故障位置呢？10第四章优选法基础由于在检查前无法预知检查结果，因此也就无法知道要排除的是检查点左边还是右边的线路.为了克服盲目性，我们把每次检查点安排在线路的中间，这样就可以去掉一般的长度.第一个检查点C安排在线路中间，如果有电，说明故障不在AC而在CB段，接着在CB中点D检查，如果没有电，说明在CD部分，再在CD中点E处检查，以此类推，很快就能找出故障的位置。11第四章优选法基础注意这个方法色要点是每个试点都去在因素范围的中点，将因素范围对分为两半，所以这个方法就称为对分法.用这种方法做试验的优化速度最快，每次可以去掉一半.12第四章优选法基础平分法的作法平分法的作法为：总是在试验范围的中点安排试验，中点公式为：根据试验结果，如下次试验在高处（取值大些），就把此试验点（中点）以下的一半范围划去；如下次试验在低处（取值小些），就把此试验点（中点）以上的一半范围划去，重复上面的试验，直到找到一个满意的试验点。ab＋中点＝21313第四章优选法基础例5－1乳化油加碱量的优选（循序试验法）高级纱上浆要加些乳化油脂，以增加柔软性，而油脂乳化需加碱加热。某纺织厂以前乳化油脂加烧碱1％，需加热处理4小时，但知道多加碱可以缩短乳化时间，碱过多又会皂化，所以加碱量优选范围为1－4.4％第一次加碱量（试验点）：2.7%=(1%+4.4%)/2有皂化，说明碱加多了，于是划去2.7%以上的范围1%2.7%4.4%1414第四章优选法基础第二次试验加碱量（试验点）：1.85%=(1%+2.7%)/2乳化良好第三次，为了进一步减少乳化时间，不走考虑少于1.85%的加碱量，而取2.28%=(1.85%+2.7%)/2乳化仍然良好，乳化时间减少1小时，结果满意，试验停止。1%1.85%2.7%1.85%2.28%2.7%15第四章优选法基础二、黄金分割法（0.618法）•对于一般的单峰函数，我们可以采用此法ab单峰函数f(x)16第四章优选法基础单因素问题我们把只考虑试验过程中的一个因素对试验结果的影响的问题称为单因素问题.好点与差点设x1与x2是因素范围[a,b]内的任意两个试点，c点为最佳点，并把两个试点中效果较好的点称为好点，效果较差的点称为差点.17第四章优选法基础对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？18第四章优选法基础对于单峰函数，在同侧，离最佳点越近的点越是好点，且最佳点与好点必在差点的同侧．由此，可按如下想法安排试点:先在因素范围[a,b]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定差点与好点，在差点处把[a,b]分成两段，截掉不含好点的一段，留下存优范围[a1,b1]，显然有[a1,b1][a,b]；19第四章优选法基础例如，假设因素区间为[0,1]，取两个试点2/10、1/10，那么对峰值在(0,1/10)中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为4/5的区间(图1)；但对于峰值在(2/10,1)的函数，只能去掉长度为1/10的区间(图2)，试验效率就不理想了。20第四章优选法基础怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点?21第四章优选法基础我们希望能“最快”找到或接近最佳点的方法不只针对某个具体的单峰函数，而是对这类函数有普遍意义.由于在试验之前无法预先知道哪一次试验效果好，哪一次差，即这两个试点有同样的可能性作为因素范围[a,b]的分界点，所以为了克服盲目性和侥幸心理，在安排试点时，最好使两个试点关于[a,b]的中心(a+b)/2对称。22第四章优选法基础同时，为了尽快找到最佳点，每次截去的区间不能太短，但是也不能很长。因为为了一次截得足够长，就要使两个试点x1和x2与(a+b)/2足够近，这样，第一次可以截去[a,b]的将近一半。但是按照对称原则，做第三次试验后就会发现，以后每次只能截去很小的一段，结果反而不利于很快接近最佳点。23第四章优选法基础为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同。24第四章优选法基础下面进一步分析如何按上述两个原则确定合适的试点..,],[,,2,1,12211221xbaxbaxxxxxx-=-即的中心对称关于且和试点分别为第试点设第如图abx1x225第四章优选法基础ax1x2x3显然,不论点x2(或点x2)是好点还是差点，由对称性，舍去的区间长度等于b-x1，不妨设行x2是好点，x1是差点，于是舍去（x1,b].再在存优范围[a,x1]内安排第三次试验，设试点为x3,x3与x2关于[a,x1]的中心对称（如图）。26第四章优选法基础,(1),.,)(,.,],(],,[,,,.1211212312232323axxxabxbxxxxbxxaxxxxxx--=---我们有等式成比例舍去的原则按于被舍去的区间长度都等差点是好点还是或点不论点于是原则违背成比例舍去的的长度相同区间的而它的长度与上次舍去舍去区间要是差点时是好点那么当的右侧在点因为如果点左侧应在点点27第四章优选法基础)2(.,11,)1(.,,1211211axaxabaxaxxxabxb----------即得形变对式例数右边是第二次舍去的比例数左边是第一次舍去的比其中28第四章优选法基础)4(1)3(,,.)2(2121tabaxaxxbtabaxt-------可得则由即数为前全区间的比例弃后的存优范围占舍弃设每次舍比例数范围占舍弃前全区间的的存优两边分别是两次舍弃后式29第四章优选法基础.01,1),5()4()3()5(,)2(2121-+-------tttttabaxabaxabax即得代入与把得由式30第四章优选法基础。618.0,,618.0,,215.,.,,.251,251121法割法叫做也把黄金分相应地取其近似值我们往往具体应用时是无理数由于金分割法确定试点的方法叫做黄利用黄金分割常数试验方法中表示用分割常数这就是黄金为对本问题有意义的根中其解得---+-wwttt31第四章优选法基础0.618法的作法为：第一个试验点x1设在范围（a，b）的0.618位置上，第二个试验点x2取成x1的对称点，即12120.618()(51)(52)0.382()(53)abxabaxabxxaba+--+--+--''也可称为试验范围的小头，为试验范围的大头，上述公式可以表示为：第一点＝小＋0.618（大－小）(5-1)第二点＝大＋小－第一点(5-2)32第四章优选法基础ax2x1b如果用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果，如果f(x1)比f(x2)好，x1是好点，于是把试验范围（a，x2）划去剩下（x2，b），如果f(x1)比f(x2)差，x2是好点，于是把试验范围（x1，b）划去剩下（a，x1），下一步是在余下的范围内寻找好点33第四章优选法基础3321xxxxbx+-13对于第一种情形，x的对称点，在安排第三次试验，用对称公式计算有：21xxxb3312xaxx+-32对于后一种情形，第三个试验点x应是好点x的对称点，也就是：ax3x2x134第四章优选法基础12212121f(x)f(x)),)(,)a,b(,)bxxxxxx12'如果与一样，则应该具体分析，看最优点可能在哪边，再决定取舍。一般情况下，可以同时划掉(a,x和(x，仅留中点的，把看成新看成新，然后在范围内重新安排试验这个过程重复进行下去，知道找出满意的点，得出比较好的试验结果；或者留下的试验范围已很小，再做下去，试验差别不大时也可终止试验另：公式(5-2),(5-2)还可用折纸的办法得到35第四章优选法基础下面我们通过例子来说明它的具体操作方法.案例：炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某种元素的量在1000g到2000g之间，问如何通过实验的方法找到它的最优加入量？36第四章优选法基础最朴素的想法就是以1g为间隔，从1001开始一直到1999，把1000~2000g间所有的可能性都做一遍试验，就一定能找到最优值.这种方法称为均分法.但这样要做1000次试验，在时间、人力和物力上都是一种浪费.用0.618法，可以更快、更有效地找出最佳点.具体操作方法如下：37第四章优选法基础用一张纸表示1000~2000g，以1000为起点标出刻度.找出它的黄金分割点x1的对称点x2作为第2试点38第四章优选法基础这两点的材料加入量是:X1＝1000＋0.618×（2000－1000）＝1618(g),X2＝1000＋2000－x1＝1382(g)如果称因素范围的两端分别为大头和小头，那么上述两式可表示为X1＝小＋0.618×（大－小);（1）X2＝小＋大－x1（2）对于式（2），相当于是“加两头，减中间”.类似的在确定第n个试点xn时，如果存优范围内相应的好点是xm，那么有公式Xn＝小＋大－xm39第四章优选法基础比较两次试验结果，如果第2试点比第1试点好，则沿1618处将纸条剪断去掉1618以上的部分，保留1618以下的部分.将保留的纸条对折，找出第2试点x2的对称点x3作为第3试点。按公式，有X=1000+1618-1382=1236,即第3次的材料加入量是1236g.10001618xx2xx31236138240第四章优选法基础如果第2次试点仍是好，则减掉1236以下的部分，在留下部分内寻找x2的对称点x4作为第4试点，按照公式可得第4试点的材料加入量为1472。12361618xx2xx4x3x11382147241第四章优选法基础如果这点比第2点好，则剪掉1382以下部分，在留下的部分内按同样的方法继续下去，就能迅速逼近该元素的最佳加入量.对于一般的因素范围[a,b],用0.618法确定试点的操作过程与上述过程完全一致.从上述过程可看到，用0.618法寻找最佳点时，虽然不能保证在有限次内准确找出最佳点42第四章优选法基础但随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的范围内，即存优范围会越来越小。我们用存优