五章-优选法

1第五章优选法(optimumseekingmethod)2教学内容与要求（1）理解一些常用的单因素优选法：来回调试方法、黄金分割法、分数法、对分法、抛物线法、分批试验法、逐步提高法；（2）理解一些常用的双因素优选法：对开法、平行线法、旋升法、按格上升法、翻筋斗法。3什么是优选法？优选法是根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳点的一类科学方法。优选法的应用在我国从70年代初开始，首先由我国数学家华罗庚等推广并大量应用.优选法也叫最优化方法4优选法适用范围试验指标与因素间不能用数学形式表达表达式很复杂5优选法的步骤：要明确优选目标．要确定影响目标的主要因素．要根据问题的性质，确定主要因素的合理范围．选择适当的优选法，找出最佳方案．6第一节单因素优选法如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大的因素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素问题。一般步骤：（1）首先应估计包含最优点的试验范围如果用a表示下限，b表示上限，试验范围为[a，b]（2）然后将试验结果和因素取值的关系写成数学表达式，当不能写出表达式时，就要确定评定结果好坏的方法。方便起见，仅讨论目标函数为f（x）的情况。7基本命题试验指标f(x)是定义区间(a，b)的单峰函数用尽量少的试验次数，来确定f(x)的最大值的近似位置8常用的单因素优选法1、来回调试方法、2、黄金分割法、3、分数法、4、对分法、5、抛物线法、6、分批试验法、7、逐步提高法9一.来回调试法如图5-1所示，选取一点x1做试验得y1=f(x1),再选取一点x2做试验得y2=f(x2),假定x2x1，如果y2y1，则最大值肯定不在区间（a,x1）内，因此只考虑在（x1，b）内求最大值的问题。再在（x1，b）内取一点x3，做试验得y3=f(x3),如果x3x2，而y3y2，则去掉（x3，b）内取一点x4，…，不断做下去，通过来回调试，范围越缩越小，总可以找到f(x)的做大值。1011二、黄金分割法（0.618法）0.618法的要点是先在试验范围的0.618分点和它的对称点0.382分点处作试验，比较两个点的结果，去掉“坏点”部分，保留“好点”所在的区间；然后在留下区间内再找到上一次“好点”的对称点，作第二次试验，比较结果，决定取舍，逐步缩小试验范围。这种方法每次可以去掉试验范围的0.382倍，而且从第二次试验后每次只须做一次试验，因此可以用较少的试验次数，迅速找到最佳点．12黄金分割法适用对于一般的单峰函数，我们可以采用此法ab单峰函数f(x)13黄金分割法定义黄金分割法指把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比等于另一部分对于该部分之比。510.6180339.....20.618x1abax1/ab=x1b/ax114黄金分割法的作法第一个试验点x1设在范围（a，b）的0.618位置上（距左端点a），第二个试验点x2取成x1的对称点，即：12120.618()(51)(52)0.382()(53)abxabaxabxxaba''也可称为试验范围的小头，为试验范围的大头，上述公式可以表示为：第一点＝小＋0.618（大－小）(5-1)第二点＝大＋小－第一点(5-2)a12x11xba2x1xb15a2x1xb用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果：1、如果f(x1)比f(x2)好，x1是好点，于是把试验范围（a，x2）划去剩下（x2，b）；2、如果f(x1)比f(x2)差，x2是好点，于是把试验范围（x1，b）划去剩下（a，x1），下一步是在余下的范围内寻找好点16如果x1是“好点”，把试验范围[a,x2]掉，保留好点”x1所在区间，得到新的搜索区间[x2,b]，得比较x1x3处试验结果，找出“好点”，保留“好点”所在区间，依次进行下去…321xxbx2x1x3xb17若x2为“好点”，则得新搜索区间[a,x1]，令依次进行下去…312xxaxa3x2x1x18如果在x1和x2试验点得到的结果一样，则应具体分析，看最优点在哪一边，再决定取舍。在一般情况下，可以同时划掉[a,x2]和[x1,b]，仅保留中间一段[x2,x1]作为新的搜索区间，然后把x2看成新的a，把x1看成新的b，在范围[x2,x1]中再重新安排两个试验点．19无论出现上述三种情况的哪一种，在新的搜索区间内，又有两次试验可以比较．根据试验结果，再去掉一段或两段试验范围，在留下的试验范围中再找“好点”的对称点，安排新的试验．这个过程重复进行，直到找出满意的试验点，得出比较好的结果；或留下的试验范围已很小，再作下去，试验结果差别不大，则可就此中止。20x3黄金分割法优选步骤x20.6180.382x1ab0.6180.382x2x1b……21例5－1为了达到某种产品质量指标,需要加入一种材料.已知其最佳加入量在1000－2000克之间的某一点，求最佳加入量1000110019002000小大22第一步先在试验范围长度的0.618处做第（1）个试验x1=a+(b-a)×0.618=1000+(2000-1000)×0.618=1618克第二步第（2）个试验点由公式（5－2）’计算x2=大＋小－第一点=2000+1000-1618=1382克第三步比较（1）与（2）两点上所做试验的效果，现在假设第（1）点比较好，就去掉第（2）点，即去掉[1000,1382]那一段范围。留下[1382,2000]小1618中点1764大1382(1)(3)2000x3=大＋小－第一点=1383+2000-1618=1764克23第四步比较在上次留下的好点，即第（1）处和第（3）处的试验结果，看那个点好，然后就去掉效果差的那个试验点以外的那部分范围，留下包含好点在内的那部分范围作为新的试验范围，……如此反复，直到得到较好的试验结果为止可以看出每次留下的试验范围是上一次长度的0.618倍，随着试验范围越来越小，试验越趋于最优点，直到达到所需精度即可。24三、分数法（斐波那契法）斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…有下述递推关系：并且是连分数后一个分数的分母等于前一个分数的分子与分母之和，而分子就是前一个分数的分母．当时，数列中的项趋向于0.618．3,,2,12121nFFFFFnnn1nnFFn,14489,8955,5534,3421,2113,138,85,53,32,2125利用这组分数进行安排试验，进行优选的方法，称为分数法。分数法也是适合单峰函数的方法，该方法要求预先知道试验总数,适用于试验点只能取整数的情况。ab单峰函数f(x)26例:在配制某种清洗液时,要优选某材料的加入量,其加入量用150ml的量杯来计算,该量杯的量程分为15格,每格代表10ml.由于量杯是锥形的,所以每格的高度不等,很难量出几毫升或几点几毫升,因些不便使用0.618法.这时可将试验范围定为0-130ml,以8/13代替0.618,第一个点在8/13处,即80ml处，第二个点在5/13处，即50ml处，这样作几次试验后，就能找到满意结果。27x42/5x3分数法优选方法：适用于：试验值只能取整数的情况试验次数有限时x1x25/83/8x1x23/5x1x32/31/328分数法的好处不仅在于此，例如，由于某种条件的限制，仅能作若干次试验，在这种情况下，采用分数法也比较好．如果只能做一次试验就用1/2，其精确度1/2，即这一点与实际最佳点的最大可能距离为试验范的1/2．如果只能作2次试验，则用2/3，第一次在2/3处作试验；第二次在1/3处作试验，其精确度为试验范围的1/3．如果能作3次试验，则可用3/5，其精确度为试验范围的1/5……作n次试验就用Fn/Fn+1，其精确度为试验范围的1/Fn+1。。29分数法试验次数：表5-130当试验范围分成的份数恰好是这串分数中的某一个的分母时，用这分数找第一个试验点比用0.618法的计算简便一些．当试验范围的长度虽然不是恰好等于而是接近某个分数的分母时，我们可以把试验范围扩大来达到这个要求．3150206040四对分法特点：每次只做1次试验每次试验区间可以缩小一半，方法简单，迅速逼近最好点适用条件：要有一个标准（鉴别结果好坏,如天平是否平衡就是标准）要预知该因素对指标的影响规律（判断x值大了还是小了）优选方法：32例：乳化油加碱量的优选（用循序试验法）高级纱上浆要加些乳化油脂，以增加柔软性，而油脂乳化需加碱加热。某纺织厂以前乳化油脂加烧碱1％，需加热处理4小时，但知道多加碱可以缩短乳化时间，碱过多又会皂化，所以加碱量优选范围为1－4.4％第一次加碱量（试验点）：2.7%=(1%+4.4%)/2有皂化，说明碱加多了，于是划去2.7%以上的范围1%2.7%4.4%33第二次试验加碱量（试验点）：1.85%=(1%+2.7%)/2乳化良好第三次，为了进一步减少乳化时间，不考虑少于1.85%的加碱量，而取2.28%=(1.85%+2.7%)/2乳化仍然良好，乳化时间减少1小时，结果满意，试验停止。1%1.85%2.7%1.85%2.28%2.7%34五抛物线法在三个试验点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，分别得试验值y1，y2，y3，根据Lagrange插值法可以得到一个二次函数：233112123121323213132()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxyyyyxxxxxxxxxxxx设二次函数在x4取得最大值：2222221232313124123231312()()()12()()()yxxyxxyxxxyxxyxxyxx35在x＝x4处做试验，得试验结果y4假定y1，y2，y3，y4中的最大值是由xi’给出除xi’之外，在x1，x2，x3和x4中取较靠近xi’的左右两点，将这三点记为x1’，x2’，x3’此处x1’＜x2’＜x3,，若在处的函数值分别为y1’，y2’，y3’,……36例1某厂在某电解工艺技术改进时，希望提高电解率，作了如下初步实验，结果是：X：电解温度（℃）657480Ｙ：电解率（％）94.398.981.5其中，74℃效果最好，但是最佳温度是不是就在74℃？还有没有改进的余地？这就要在74℃附近安排实验。第一种方案是在70、71、72、73、75、76℃……逐个进行实验，这样工作量太大，第二种方案是对这批数据进行分析，找出科学的设计方法。分析这三个数据，可以看出，y值中间高两边低，形成一条抛物线。可以用求出抛物线方程，再求导数找出极大值的方法寻找最佳温度，抛物线方程式是：y=ax2+bx+c有了这三组数据，就可以解出a、b、c三个数据，然后找出极大点，从而得到对应的温度是：70.5℃。再用这个温度作实验,电解率高达99.5℃,一次成功！37例5-2在测定某离心泵效率与流量之间关系曲线的试验中,测得三组数据如下.流量x82032效率%y507570222222123231312412323131222222212502032753287082012502032753287082024yxxyxxyxxxyxxyxxyxx在x=24时进行试验,结果得效率为78%38几种方法的联系1、如果穷举法（每个试验点都做试验）需要n次试验，同样的效果黄金分割法只要数量级lgn次即可抛物线法只要数量级lg（lgn）次即可（原因是进行了数量方面的分析）2、抛物线法常常用在0.618法或分数法取得一些数据之后应用，效果更好。39六分批试验法在生产与试验中,为加速试验的进行,常常采用一批同时做几个试验的方法,即分批试验法.分类:均分法比例分割法40每批做2n个