2.2.1综合法和分析法

2.2.1综合法和分析法（一）——综合法学习目标：1.结合前面学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法---综合法和分析法，归纳综合法的思考过程和特点，会用综合法证明问题。2.借助实例充分认识综合法的特点，体会转化和数形结合的数学思想方法。推理合情推理演绎推理归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）一、复习引入合情推理得到的结论是不可靠的，需要经过严格的证明才可以使用。数学中证明的方法有哪些呢？间接证明（反证法）分析法综合法直接证明证明的方法用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…二、自主探究——综合法(顺推证法或由因导果法)利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导果”例.已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc分析：首先，分析待证不等式的特点：不等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左端为两项之和，其中每一项都是一个数与另两个数的平方和之积.据此，只要把两个数的平方和转化为这两个数的积的形式，就能使不等式左、右两端具有相同的形式.其次，寻找转化的依据及证明中要用的其他知识：应用不等式x2+y2≥2xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据.证明:∵b2+c2≥2bc,a0∴a(b2+c2)≥2abc.又∵c2+a2≥2ac,b0∴b(c2+a2)≥2abc.∴a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc..在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三角形．分析•将A，B，C成等差数列，转化为符号语言就是2B=A+C；•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，即A+B+C=180°；•a，b，c成等比数列转化为符号语言就是2b=ac.此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理进行证明.证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C.①因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以Ａ+Ｂ+Ｃ=180°.②πB=.3③由a，b，c成等比数列，有2b=ac.④由①②，得①②，得由①②，得注：解决数学问题时，学会语言转换；还要细致，找出隐含条件。符号语言图形语言文字语言由余弦定理及③，可得22222b=a+c-2accosB=a+c-ac.再由④，得22a+c-ac=ac,即2a-c=0.（）因此a=c.从而A=C.⑤πA=B=C=.3所以△ＡＢC为等边三角形.由②③⑤,得【巩固练习】abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244（：求证已知、、求证：8)11)(11)(111,,,3cbacbaRcba（求证：、已知课堂小结1.在数学证明中，综合法最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法.2.综合法的每步推理都是寻找必要条件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性.综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…5.设a0，是R上的偶函数。（1）求a的值；（2）证明f(x)在（0，＋∞）上是增函数xxeaaexf)(2.2.1综合法和分析法（二）——分析法学习目标：1.结合前面学过的数学实例，了解分析法的思考过程和特点，会用分析法证明问题。2.通过实例充分认识综合法和分析法的区别，能够根据问题特点，灵活选择适当的证明方法，或者把不同的证明方法结合使用。用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…回顾复习——综合法(顺推证法或由因导果法)利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导果”综合法是由一个个推理组成的一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法。其特点是：执果索因，即要证结果Q，只需证条件P.1QP23PP12PP得到一个明显成立的结论…自主探究——分析法（逆推证法或执果索因法）类似于综合法，我们也可以用框图来表示分析法。用Pi表示使所要证明结论成立的充分条件，Q表示所要证明的结论.则分析法的思路过程，特点用框图表示为:注意：证明最后面的明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等练习：证明不等式：(a0,b0).a+bab2证法1:因为;所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2证法2:要证;a+bab2()b20a2a+bab只需证;20a+bab只需证;()b20a只需证;因为;成立a+bab2所以成立综合法分析法思考：上述两种证法有什么异同？都是直接证明证法1从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止综合法相同不同证法2从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止分析法分析法结论已知条件综合法已知条件结论综合法和分析法的推证过程如下：5273.4求证：例都是正数，所以要证和证明：因为52735273只需证，225273）（）（521只需证：2521只需证：显然成立，所以因为2521成立52732021210只需证：5273.4求证：例都是正数，所以要证和证明：因为52735273225273）（）（5212521显然成立，所以因为2521成立52732021210在本例中，如果我们从“2125”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论.但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困难.反思•[点评]•(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；•2）分析法证明思路为：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件，直至把证明的结论归结为一个明显成立的条件即可。•(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”等关联词语．巩固练习：求证：6372证法一：要证6372成立因为,6372都是正数和所以只需证明22)63()72(成立展开得18291429即18214218141814因为1814成立，所以6372成立证法二：1814181418214222)63()72(637218291429例5.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AF⊥SCFESCBA证法一:要证AF⊥SC只需证:SC⊥平面AEF只需证:AE⊥SC只需证:AE⊥平面SBC只需证:AE⊥BC只需证:BC⊥平面SAB只需证:BC⊥SA只需证:SA⊥平面ABC因为:SA⊥平面ABC成立所以.AF⊥SC成立分析：本题条件较多，而且垂直关系较多，我们不容易发现如何使用这些垂直条件，因此利用综合法比较困难，我们采用分析法，证法二:∵SA⊥平面ABC∴AE⊥BC又∵AE⊥SB,且BC∩SB=B∴AE⊥平面SBC∴AE⊥SC又∵EF⊥SC,且AE∩EF=E∴SC⊥平面AEF∴AF⊥SC∴BC⊥SA∴BC⊥平面SAB又∵AB⊥BC,且AB∩SA=A请结合上述例子和自己感受，说说综合法和分析法的各自特点和它们的适用情况。（1）综合法：由因导果，当条件明确，思路清晰时适用；（2）分析法：执果索因，当条件多，入手难，思路乱时适用。（3）综合法是分析法的逆过程。已知条件结论结论已知条件用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:……PP1P1P2Pn-1PnQm-1QmQQ1Q1Q2拓展：综合应用：在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用（即两面夹攻）：根据条件结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P，若P可以推出Q，就可以证明结论成立)tan1(2tan1tan1tan1sincossin,sin2cossin),(2,6.22222＝求证：且已知例zkk分析：证明式中没有,因此我们要将消掉,如何消掉？而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切,因此我们要弦化切。证明：,22222222222222222sinθ+cosθ-2sinθcosθ=14sinα-2sinβ=1.1-tanα1-tanβ=1+tanα2(1+tanβ)sinβsinα1-1-cosβcosα=sinαsinβ1+2(1+)cosαcosβ（），，因为所以将(1)(2)代入，可得另一方面要证即证（3）222222221cosα-sinα=(cosβ-sinβ)211-2sinα=(1-2sinβ)24sinα-2sinβ=1.，，即证即证即证由于上式与③相同，于是问题得证.1.综合法：∵(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1∴(2sinα)2-2sin2β＝1∴4sin2α-2sin2β＝1∴2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β即：2(cos2α－sin2α)cos2α+sin2αcos2β-sin2βcos2β+sin2β＝)tan1(2tan1tan1tan12222＝（二倍角公式）2.分析法：)tan1(2tan1tan1tan12222＝2(cos2α－sin2α)cos2α+sin2αcos2β-sin2βcos2β+sin2β＝要证：只要证：2(cos2α－sin2α)＝cos2β-sin2β只要证：只要证：4sin2α-2sin2β＝1(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ＝1只要证：这是三角函数的基本性质∴)tan1(2tan1tan1tan12222＝巩固练习aaaa2cos42sin3,1tan2tan1求证：已知综合法分析法特点由因索果由果索因条件充分条件不要条件格式P→Q1→Q2→...→Qn→QQ←P1←P2←...←Pn←P关系解答个一般方式解法的探讨实际证题过程，分析与综合是统一运用的P→Q1→Q2→...→Qn→Q←Pn←...←P2←P1←P课堂小结九九电影网九九电影网