高一数学《三角函数》复习课件.ppt

三角函数复习课一、知识结构：任意角与弧度制：单位圆任意角的三角函数三角函数线；三角函数的图象和性质三角函数线模型的简单应用同角三角函数的基本关系式诱导公式一、任意角的三角函数1、角的概念的推广正角负角oxy的终边的终边),(零角度弧度003064543602120321354315065270231803602902、角度与弧度的互化36021801801185730.57)180(1,弧度特殊角的角度数与弧度数的对应表3、任意角的三角函数定义xyo●P(x,y)r的终边xyrxrytan,cos,sin4、同角三角函数的基本关系式商数关系：cossintan平方关系：1cossin2222yxr定义：三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”5、诱导公式：,:2符号看象限奇变偶不变口诀为的各三角函数值的化简诱导公式是针对k例：)23sin(cos（即把看作是锐角）)2cos(sin)sin(sin)cos(cos三、三角函数的图象和性质图象y=sinxy=cosxxoy22232-11xy22232-11性质定义域RR值域[-1，1][-1，1]周期性T=2T=2奇偶性奇函数偶函数单调性增函数]22,22[kk减函数]232,22[kk增函数]2,2[kk减函数]2,2[kko1、正弦、余弦函数的图象与性质2、函数的图象（A0,0))sin(xAyxysin第一种变换:图象向左()或向右()平移个单位00||)sin(xy横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变1101)sin(xy纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍横坐标不变)sin(xAy第二种变换：xysin横坐标伸长()或缩短()到原来的倍纵坐标不变1011xysin图象向左()或向右()平移个单位00||)sin(xy纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍横坐标不变)sin(xAy3、正切函数的图象与性质y=tanx图象22xyo2323定义域值域},2|{NkkxxR奇偶性奇函数周期性T单调性))(2,2(Zkkk例1：已知是第三象限角，且，求。四、主要题型31costan为第三象限角解：322)31(1cos1sin2222cossintan应用：三角函数值的符号；同角三角函数的关系；例2：已知，计算⑴⑵2tancossin2cossin3cossin解:⑴coscossin2coscossin3cossin2cossin31tan21tan337122123⑵1cossincossin22cossincossin1tantan2521222应用：关于的齐次式cossin与例3：已知，)4,0(),43,4(,135)4cos(,53)4sin(且)sin(求解:)](2cos[)sin()]4()4cos[()]4sin()4sin()4cos()4[cos(54)4cos()43,4(,53)4sin(且1312)4sin(),4,0(,135)4cos(且6556)13125313554(上式应用：找出已知角与未知角之间的关系4、已知三角函数值求角y=sinx,的反函数y=arcsinx,]2,2[x]1,1[xy=cosx,的反函数y=arccosx,],0[x]1,1[xy=tanx,的反函数y=arctanx,)2,2(xRx⑵已知角x()的三角函数值求x的步骤]2,0[x①先确定x是第几象限角②若x的三角函数值为正的，求出对应的锐角；若x的三角函数值为负的，求出与其绝对值对应的锐角③根据x是第几象限角，求出x若x为第二象限角，即得x=；若x为第三象限角，即得x=；若x为第四象限角，即得x=④若，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。1x1x1x1x12xRx⑴反三角函数二、两角和与差的三角函数1、预备知识：两点间距离公式xyo),(111yxp●●),(222yxp22122121)()(||yyxxpp),(21yxQ2、两角和与差的三角函数sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(tantan1tantan)tan(注：公式的逆用及变形的应用)tantan1)(tan(tantan公式变形3、倍角公式cossin22sin22sincos2cos22sin211cos21sincos222tan1tan22tan注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别22cos1cos222cos1sin2例4：已知的值求)4sin(21sin2cos2),,2(2,222tan2解：)4sin(2sincos)4sin(21sin2cos22tan1tan1,222tan22tan2tan22tan1tan22或即2tan)2,4(),2(2322sincossincos应用：化简求值例5:已知函数求：⑴函数的最小正周期；⑵函数的单增区间；⑶函数的最大值及相应的x的值；⑷函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到。,,cos3cossin2sin22RxxxxxyRxxy,2sin2解：xxxxxxy222cos22sin1cos3cossin2sin)42sin(2212cos2sin1xxx⑴22T⑵得由,224222kxkZkkxk,883)](8,83[Zkkk函数的单增区间为⑶22,)(8,2242最大值时即当yZkkxkx⑷xy2sin2图象向左平移个单位8)42sin(2xy图象向上平移2个单位)42sin(22xy应用：化同一个角同一个函数章末复习提升课第一章三角函数三角函数式的化简、求值(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及sinαcosα＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简．(2)诱导公式可概括为k·π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．(1)sin4π3cos－25π6＝________．(2)已知2＋tan（θ－π）1＋tan（2π－θ）＝－4，求(sinθ－3cosθ)(cosθ－sinθ)的值．[解](1)sin4π3＝sinπ＋π3＝－sinπ3＝－32；cos－25π6＝cos25π6＝cos4π＋π6＝cosπ6＝32；所以sin4π3cos－25π6＝－32×32＝－34.故填－34.(2)法一：由已知2＋tanθ1－tanθ＝－4，所以2＋tanθ＝－4(1－tanθ)，解得tanθ＝2.所以(sinθ－3cosθ)(cosθ－sinθ)＝4sinθcosθ－sin2θ－3cos2θ＝4sinθcosθ－sin2θ－3cos2θsin2θ＋cos2θ＝4tanθ－tan2θ－3tan2θ＋1＝8－4－34＋1＝15.法二：由已知2＋tanθ1－tanθ＝－4，解得tanθ＝2.即sinθcosθ＝2，所以sinθ＝2cosθ.所以(sinθ－3cosθ)(cosθ－sinθ)＝(2cosθ－3cosθ)(cosθ－2cosθ)＝cos2θ＝cos2θsin2θ＋cos2θ＝1tan2θ＋1＝15.三角函数式的求值、化简的策略(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再变形化简．(3)“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式.三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是()A．y＝cos|2x|B．y＝|sinx|C．y＝sinπ2＋2xD．y＝cos3π2－2x(2)函数y＝cosx＋π6，x∈0，π2的值域为________．(3)函数y＝2sinπ6－2x(x∈[0，π])的单调递增区间是________．[解析](1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sinx|是偶函数，y＝sinπ2＋2x＝cos2x是偶函数，y＝cos3π2－2x＝－sin2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.(2)由y＝cosx＋π6，x∈0，π2可得π6≤x＋π6≤2π3.由于函数y＝cosx在区间π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为－12，32.(3)因为y＝－2sin2x－π6.所以由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ可得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ(k∈Z)．因为x∈[0，π]，所以单调递增区间为π3，5π6.[答案](1)D(2)－12，32(3)π3，5π6(1)三角函数的两条性质①周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.②奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋B的形式．(2)求三角函数的单调区间的方法求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间.三角函数的图象函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换y＝sinx―――――――――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)―――――――――――――――→横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍纵坐标不变y＝sin(ωx＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A（A＞0）倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．函数y＝sinx2的图象沿x轴向左平移π个