考点29-空间几何体的表面积与体积-备战2019年浙江新高考数学考点一遍过-Word版含解析

1．会计算柱、锥、台、球的表面积.2．会计算柱、锥、台、球的体积.一、柱体、锥体、台体的表面积1．旋转体的表面积圆柱（底面半径为r，母线长为l）圆锥（底面半径为r，母线长为l）圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）侧面展开图底面面积2π底Sr2π底Sr侧面面积2π侧Srlπ侧Srl表面积2．多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：二、柱体、锥体、台体的体积1．柱体、锥体、台体的体积公式几何体体积柱体柱体VSh(S为底面面积，h为高),2π圆柱Vrh(r为底面半径，h为高)锥体13锥体VSh(S为底面面积，h为高)，(r为底面半径，h为高)台体(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)2．柱体、锥体、台体体积公式间的关系3．必记结论（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.三、球的表面积和体积1．球的表面积和体积公式设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为24πR，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为34π3R.2．球的切、接问题（常见结论）（1）若正方体的棱长为a，则正方体的内切球半径是12a；正方体的外接球半径是32a；与正方体所有棱相切的球的半径是22a．（2）若长方体的长、宽、高分别为a，b，h，则长方体的外接球半径是．（3）若正四面体的棱长为a，则正四面体的内切球半径是612a；正四面体的外接球半径是64a；与正四面体所有棱相切的球的半径是24a．（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．考向一柱体、锥体、台体的表面积1．已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.3．求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.典例1如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A．20πB．24πC．32πD．28π【答案】D【名师点睛】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积时常会设计此种陷阱．学￥%科网典例2若正四棱柱的底边长为2，1AC与底面ABCD成45°角，则三棱锥1BACC的表面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】由1AC与底面ABCD成45°角，且正四棱柱的底边长为2，可知棱柱的高为22，故三棱锥1BACC的表面积为故答案为A.1．若某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A．5+292B．5+2952C．5+352922D．5+3522．如图，圆柱12OO的底面直径与高都等于球O的直径，记圆柱12OO的表面积为1S，球O的表面积为2S，则12SSA．1B．23C．32D．43考向二柱体、锥体、台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题.求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和;如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.典例3如图是一个正三棱柱挖去一个圆柱得到的一个几何体的三视图，则该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为A．331πB．331π3C．33πD．331π【答案】A【解析】正三棱柱与圆柱的体积比为(,rh分别为圆柱的底面半径和高),因此该几何体的体积与挖去的圆柱的体积比为33ππ,选A.典例4如图，几何体中，平面，是正方形，为直角梯形，，，△ACB是腰长为的等腰直角三角形．学%……科网（1）求证：；（2）求几何体的体积.因为平面，所以.3．如图,网格中的小正方形的边长为0.5,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为A．72B．2C．23D．44．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，且π4BCD，BCPD，平面PBC平面ABCD.（1）求证：PCPD；（2）若底面ABCD是边长为2的菱形，四棱锥PABCD的体积为43，求点B到平面PCD的距离.考向三球的表面积和体积1．确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.2．球与几种特殊几何体的关系：(1)长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；(2)正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；(3)直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；(5)球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．3．与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.4．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：.学科#￥网典例5《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，，4AC，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为A．8πB．12πC．20πD．24π【答案】C典例6如图，已知H是球O的直径AB上一点,,AB平面,H为垂足,截球O所得截面的面积为π,则球O的体积为A．16π9B．323π27C．16π27D．163π9【答案】B5．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是A．16πB．14πC．12πD．8π6．已知在三棱锥A-BCD中，底面△BCD是边长为3的等边三角形，且AC=AD=，若AB=2，则三棱锥A-BCD外接球的体积是__________.考向四空间几何体表面积和体积的最值求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.典例7如图,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A,B的任意一点,A1A=AB=2.（1）求证：BC⊥平面A1AC;（2）求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.【解析】（1）因为C是底面圆周上异于A,B的任意一点,且AB是圆柱底面圆的直径,所以BC⊥AC.因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,学科&*网所以AA1⊥BC.又AA1∩AC=A,所以BC⊥平面AA1C.（2）方法一：设AC=x(0x2),在Rt△ABC中,BC=,7．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，堑堵的外接球的体积为________．1．一个长方体共一顶点的三条棱长分别是3,3,6，这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是A．12πB．18πC．36πD．6π2．已知某多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为A．30B．28C．32D．343．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为A．60B．72C．81D．1144．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的所有顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A．B．C．D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城，上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺，秋程人功三百尺.问：须工几何？”意思是：“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为2丈、下底为5.4丈、高为3.8丈，直棱柱的侧棱长为5550尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）A．24642B．26011C．52022D．780336．某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的表面积为A．2π83B．24πC．D．7．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是1025，则该几何体的体积为A．433B．453C．423D．838．如图，直角梯形ABCD中，ADDC，∥ADBC，，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为__________．9．将若干毫升水倒入底面半径为4cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为8cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是__________cm.10．某圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的母线长为__________，体积为__________.11．已知三棱锥的顶点都在球的球面上,,且平面，则三棱锥的体积等于_____________。12．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成的角为，若的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是__________．13．如图，已知正方体的棱长为1，点为棱上任意一点，则四棱锥的体积为______．14．如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则_______．15．某几何体的三视图如图所示,侧视图是边长为的正方形,俯视图为等边三角形,则该几何体的最长棱的长为,体积为.16．已知某几何体的三视图如图所示,俯视图是由等腰直角三角形和半圆组成的,若该几何体的体积为+π,则x=,该几何体的表面积为.17．正三棱锥的高为1，底面边长为26，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积是．18．如图,在四面体中,⊥平面,,且.（1）证明:平面⊥平面;（2）求四面体的体积的最大值.19．如图所示的几何体QPABCD为一简单组合体，在底面ABCD中，，ADDC，ABBC，，∥PAQD，1PA，.（1）求证：平面；（2）求该组合体QPABCD的体积.1．（2018浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A．2B．4C．6D．82．（2018新课标全国I文科