1.3.1函数的单调性与导数

复习引入：问题1：怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，(1)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即.00)()(2121xyxxxfxf也即(2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数此时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即00)()(2121xyxxxfxf也即(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1x2.(3)判断差的符号(与０比较)，从而得函数的单调性.例1：讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.解：取x1x2∈R，f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3）=（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2）=(x1－x2)(x1+x2－4）则当x1x22时，x1+x2－40，f(x1)f(x2)，那么y=f(x)单调递减。当2x1x2时，x1+x2－40，f(x1)f(x2)，那么y=f(x)单调递增。综上y=f(x)单调递增区间为（2，+∞）y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。函数y=x2－4x＋3的图象：2yx0单增区间：（２，+∞）.单减区间：(－∞，２).0yx12-1-2单增区间：(-∞，-1)和（1，+∞）.单减区间：(-1，0）和（0，1）.例2：讨论函数的单调性。xxy1;2)1(23xxxy;ln)2(xxy.1)3(xeyx那么如何求出下列函数的单调性呢?发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的y=x2－4x＋3图象来考察单调性与导数有什么关系：00)()(2121xyxxxfxf也即增函数时有00)()(2121xyxxxfxf也即减函数时有这表明：导数的正、负与函数的单调性密切相关2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间如果f′(x)0,注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.如果f′(x)0,则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.例2.确定函数在哪个区间是减函数？在哪个区间上是增函数？2()45fxxx2xyo解:(1)求函数的定义域函数f(x)的定义域是(－∞,＋∞)（2）求函数的导数'()24fxx（3）令以及求自变量x的取值范围，也即函数的单调区间。'()0fx'()0fx令2x－40,解得x2∴x∈(2,＋∞)时，是增函数令2x－40,解得x2∴x∈(-∞,2)时，是减函数)(xf)(xf例4求函数f(x)=sinx,x∈[0,2π]的单调区间.例5判定函数y=ex-x+1的单调区间.解:f’(x)=ex-1当ex-10时,解得x0.则函数的单增区间为(0,+∞).当ex-10时,解得x0.即函数的单减区间为(-∞,0).总结：根据导数确定函数的单调性1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f′(x)0,得函数单增区间;解不等式f′(x)0,得函数单减区间.知识应用1．应用导数求函数的单调区间(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数(填“增”或“减”)。基础训练：增(2)．函数y=x2－3x在[2,+∞)上为______函数，在(-∞,1]上为___函数，在[1,2]上为函数(填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函数”)。增减既不是增函数又不是减函数变1：求函数的单调区间。3233yxx理解训练：求函数的单调区间。233yxx).21,(,21,036);,21(,21,03636:单调减区间为单调增区间为解xxxxxy).32,0(,320,069);,32()0,(,032,06969:222单调减区间为单调增区间为或解xxxxxxxxxy变2：求函数的单调区间。33xyex巩固训练：);0,(,0,1,033);,0(,0,1,03333:单调减区间为单调增区间为解xeexeeeyxxxxx变3：求函数的单调区间。1yx),0()0,(,00,01;,,011)1(:222单调减区间为或无单调增区间不存在解xxxxxxxy已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，试画出函数图象的大致形状。()fxABxyo23()yfx2．应用导数信息确定函数大致图象设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C''()()()()yxfxfxfxyfx问题：已知函数的图象如图（其中是的导函数）下列四个图象中的图象大致是（）-11-22-1-212xyＣＡＢＣＤ-２-１-１２-２２１２１-１-１cossin335.(,).(,2).(,).(2,3)2222yxxxABCD函数在下面哪个区间内是增函数()0sin,0sin,0),2,(,0sin,0sinsincos)(coscoscos)cos()sincos(:xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy当解B1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)课堂练习A33(,)333、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是()(A)单调递增函数（B）单调递减函数(C)部份单调增，部分单调减(D)单调性不能确定2、函数y=a(x3-x)的减区间为a的取值范围为()(A)a0(B)–1a1(C)a1(D)0a1)33,33(AB322(),,,30()()()()()fxxaxbxcabcabfxRABCD函数其中为常数，当时，在上()增函数减函数常数既不是增函数也不是减函数A求参数的取值范围325ax-xx-例1：求参数的范围若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围13a解:由題意f/(x)=3ax2-2x+10在(-,+)恒成立当a=0时,-2x+10x12不是恒成立(舍去)当a0时,必须有a0=(-2)2-4×(3a)0a0a13a13a132120101fxaxx,,xfxx,a.已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围322f'xax()例2：解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增31f'xa-xx()0,即在（0，1]上恒成立31gxxgxgmax而()在（0，1]上单调递增，()(1)=-11a-322f'xx当a1时，()1f'xa-fx对x（0，1）也有()〉0时，（）在(0,1)上是增函数所以a的范围是[-1，+）在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于取到等号的问题需要验证f'x()0(或0)f'x()0(或0)例3若函数f(x)＝13x3－12ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a的范围．•解法一：(转化为不等式的恒成立问题)•f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2x＋15，所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，•又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因为x＋17，所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．由题意知5≤a≤7.•解法二：(数形结合)•如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．若在(1,4)内f′(x)≤0，(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，则另一根在[4,6]上．所以f′(4)≤0，f′(6)≥0，即3(5－a)≤0，5(7－a)≥0，所以5≤a≤7.•[点评]本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想．•[解析]解法三：(区间法)•f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，所以x＝1或x＝a－1.•当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．•当a－11，即a2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知：(1,4)⊆(1，a－1)且(6，＋∞)⊆(a－1，＋∞)，•所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.320fxax-xxafxa练习1已知函数()=，(0,1],,若()在（0，1]上是增函数，求的取值范围。,3[)2解:f/(x)=2a-3x2,因为f(X)在(0,1]上是增函数,f/(x)=2a-3x20在(0,1]上恒成立即a3x22在(0,1]上恒成立,设g(x)=3x22因为g(x)在(0,1]上是增函数g(x)max=32,a32,又a=32时,f/(x)=3-3x2=3(1+x)(1-x)在(0,1)上,f/(x)0,而f/(1)=0f(x)在(0,1]上是增函数综上:a32例4：方程根的问题求证：方程只有一个根。102xsinx12110201002f(x)x-sinx,x(,)f'(x)cosxxxfxxsinxx.f()在（，）上是单调函数，而当时，（)=0方程有唯一的根证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.∵f(0)=e0－1－0=0.∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x2.当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.分析：令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明.点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.•已知：x＞0，求证：x＞sinx.•[解析]设f(x)＝x－sinx(x＞0)•f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立•∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数•又f(0)＝0∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立•即：x＞sinx(x＞0)．综合训练cossin335()(,)()(,2)()(,)()(2,3)2222yxxxABCD1.函数在下面哪个区间内是增函数():(cossin)(