20平行四边形与中心对称图形

平行四边形与中心对称图形一、一周知识概述1、四边形在平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形．组成四边形的各条线段叫做四边形的边，每相邻两条边的公共端点叫做四边形的顶点．四边形用它的各个顶点的字母顺序来表示．如四边形ABCD．若把四边形的任何一边向两方延长，其它各边都在延长所得的直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．四边形中，连结不相邻的两个顶点的线段叫做四边形的对角线，四边形有两条对角线．四边形相邻两边所组成的角叫做四边形的内角，简称四边形的角．四边形相对的两个角叫做对角，相对的两条边叫做对边．2、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形ABCD记作“□ABCD”．如图，在□ABCD中，AB与CD，AD与BC分别为□ABCD的两组对边，∠A与∠C，∠B与∠D是两组对角．3、平行四边形的性质(1)平行四边形对角相等；(2)平行四边形对边平行且相等；(3)平行四边形的对角线互相平分．4、中心对称图形在平面内，将一个图形G绕一点O旋转180°，所得到的像与原来的图形G互相重合，那么图形G叫做中心对称图形．点O叫做图形G的对称中心，此时也称图形G关于点O对称．中心对称图形上，每一对对应点的连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．5、平行四边形的判定方法（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形．6、平行四边形判定与性质的关系特别说明的是：平行四边形的定义既是它的性质，又是它的判定．7、三角形中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线的性质定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图，D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，则，且DE∥BC．它说明三角形中位线与第三边的位置和大小关系．也是我们将来解决线与线之间平行关系和倍分关系的一种重要方法．二、重难点知识归纳掌握平行四边形的性质和判定方法，三角形中位线的性质；应用平行四边形的性质和判定方法解决平行四边形的有关问题；会应用三角形的中位线性质解题．三、典型例题讲解例1、O是□ABCD对角线的交点，的周长为59，，，则________，若与的周长之差为15，则______，□ABCD的周长=______.解析：□ABCD中，，.∴的周长∴.在ABCD中，BC=AD，∴AD=28．的周长－的周长，∴．∴ABCD的周长．说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差.例2、已知：如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点的直线EF交AD、BC于E、F.求证：.分析：要证，只需证含有OE、OF的两个三角形全等即可，也就是说证明或证.这一点由平行四边形的性质容易证得.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，（平行四边形的对角线互相平分）∴．在与中，∴，∴．说明：此题利用了平行四边形对角线互相平分的性质，通过证明三角形全等，证明了.那么由此题可以看出过平行四边形对角线交点的任一直线被一组对边所截得的线段，被对角线的交点平分.平行四边形是以对角线交点为中心的对称图形.例3、如图，E、F分别是□ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，∠A=∠C．又AE=CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．(2)四边形MFNE是平行四边形．证明如下：由△ABE≌△CDF得BE=DF．又M、N分别为BE、DF的中点，∴EM=NF．由四边形ABCD为平行四边形知．又AE=CF，∴，四边形BEDF为平行四边形，故BE∥DF．∴，四边形MFNE为平行四边形．点评：本例两次用到“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，并且两次用到平行四边形的性质定理．例4、已知，如图，平行四边形ABCD的周长是36cm，自钝角顶点D向AB、BC引两条高DE、DF，且，．求这个平行四边形的面积．解析：设AB=xcm，BC=ycm．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，AD=BC．又四边形ABCD的周长为36cm，∴2x＋2y=36．①∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴S□ABCD=AB·DE，S□ABCD=BC·DF．．②由①②解得x=10，y=8．∴S□ABCD=AB·DE=．说明：利用方程思想是解决几何问题的一种重要方法．例5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CF是斜边上的高，AT平分∠CAB交CF于点D，过D作DE∥AB交BC于点E．求证：CT=EB．证明：过D作DG∥CB交AB于点G．∵DE∥AB，∴四边形DEBG为平行四边形．∴DG=EB，∠3=∠B．在Rt△ABC与Rt△AFC中，易知∠4=∠B．∴∠4=∠3，∵∠1=∠2，AD=AD，∴△ACD≌△AGD，∴CD=GD．又∠1＋∠5=90°，∠2＋∠7=∠2＋∠6=90°，∴∠5=∠6，∴CD=CT．∴CT=EB．例6、AD为△ABC的高，∠B=2∠C，M为BC的中点．求证：DM=AB．分析：由M为BC中点，要证DM=AB，联想利用中位线定理构造AB，即取AC的中点N，连接MN，DN，只须证明MN=DM，这可由在直角三角形中，斜边的中线等于斜边一半及∠B=2∠C证得．证法一：取AC的中点N，连接MN、DN．又∵M为BC中点，∴MN//AB，MN=AB，∴∠B=∠NMC．∵AD为△ABC的高，N为AC的中点，∴DN=CN，∴∠C=∠NDC．∵∠NMC=∠NDC＋∠MND，∠B=2∠C，∴∠MDN=∠MND，∴MD=MN，∴DM=AB．证法二：取AB的中点P，连接DP、MP，则PM为△ABC的中位线．∴PM//AC，∴∠C=∠PMB．又∵AD为△ABC的高，P为AB的中点，∴PD=PB=AB，∴∠B=∠PDB．∵∠PDB=∠PMB＋∠DPM，∠B=2∠C，∴∠DPM=∠DMP，∴PD=DM=AB．说明：如果题目中有线段倍分并有中点，解题思路经常构造中位线把问题转化；在证线段倍分时，也经常用到“斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论证题．例7、在图(1)中的网格中画出四边形关于O点的中心对称图形．解：在网格中作出四边形关于O点的中心对称图形，如图(2)．说明：作中心对称图形的实质，就是将图形的每一个顶点绕中心O旋转180°．比如，作点A′，使点A′与点A关于O点对称，只要连结AO，并延长AO至A′，使OA′=OA即可在线测试一、选择题1、下列命题正确的个数是（）①两个全等三角形必关于某一点中心对称②关于中心对称的两个三角形是全等三角形（注意比较命题①、②的真假）③两个三角形对应点连线都经过同一点，则这两个三角形关于该点成中心对称（没有说明被这一点平分）④关于中心对称的两个三角形，对应点连线都经过对称中心A．1B．2C．3D．42、如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=4，AF=6，□ABCD的周长为40，则S□ABCD为（）A．24B．36C．40D．483、如图，在□ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线，若∠B=50°，则∠BCF=（）A．50°B．40°C．65°D．85°4、若A、B、C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、如图，□ABCD中，∠C=108°，BE平分∠ABC，则∠ABE等于（）A．18°B．36°C．72°D．108°6、已知，第一个三角形的周长为1，它的三条中位线又组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，依次类推，第2009个三角形的周长为（）A．B．C．D．7、如图，在△ABC中，AB=30cm，BC=24cm，CA=27cm，AE=EF=FB，EG∥DF∥BC，FM∥EN∥AC，则图中阴影部分三个三角形周长的和为（）A．70cmB．75cmC．80cmD．81cm8、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=8，BD=10，AB=x，则x的取值范围是（）A．1＜x＜9B．2＜x＜18C．8＜x＜10D．4＜x＜59、如图，在□ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB=6，BC=4，则AE︰EF︰FB为（）A．1︰1︰2B．2︰1︰3C．3︰2︰4D．1︰1︰310、在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD；②AD=BC；③∠A=∠C；④AD∥BC．能判断四边形是平行四边形的所有组合是（）A．①④，②④，③④B．①③，②④，③④C．①④，①③，②④D．①④，①③，②④，③④重做提示B卷二、解答题11、如图，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F是垂足，∠B=50°．求□ABCD的其他三个角及∠EAF的度数．[答案]12、如图，已知AO是△ABC的∠A的平分线，BD⊥AO的延长线于点D，E是BC的中点．求证：．[答案]13、如图，四边形ABCD中，DC∥AB，以AD、AC为边作□ACED，延长DC交EB于点F．求证：EF=FB．[答案]14、如图，四边形ABCD关于点O成中心对称图形．求证：四边形ABCD是平行四边形．[答案]15、如图，在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上，且BM=AC；点N在AC上，且AN=MC．AM、BN相交于点P．求证：∠BPM＝45°．第1题答案错误!正确答案为B第2题答案错误!正确答案为D第3题答案错误!正确答案为C第4题答案错误!正确答案为C第5题答案错误!正确答案为B第6题答案错误!正确答案为B第7题答案错误!正确答案为D第8题答案错误!正确答案为A第9题答案错误!正确答案为B第10题答案错误!正确答案为D提示：1、(2)(4)正确．2、设BC=x，CD=y，则依面积知4x=6y2x=3y，又x＋y=20，列方程组求解．3、∠BCD=130°，∠BCF=65°．4、过点A、B、C分别作对边的平行线，有3个平行四边形．5、此题用到了“平行四边形的邻角互补”，求出∠ABC的度数后，即可得到∠ABE的大小．6、三角形的三条中位线组成的三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半．7、依平行四边形对边相等知正好为△ABC的周长．8、由平行四边形性质可知：OA=4，OB=5．在平行四边形中，AB、OA、OB构成三角形，所以5－4＜x＜5＋4，即1＜x＜9．9、在□ABCD中，DC∥AB，所以∠DCE=∠CEB，又∠DCE=∠ECB，所以∠CEB=∠ECB，即BE=BC=4，F是AB中点，所以．又EF=BE－FB=4－3=1，AE=AB－BE=6－4=2，所以AE︰EF︰FB=2︰1︰3．10、由平行四边形的判定方法知选D．11、解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D=∠B=50°，∠C=∠BAD(□ABCD的对角相等)．又∵AB∥CD，∴∠C＋∠B=180°．∴∠C=∠BAD=130°．在四边形AECF中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠C=130°，根据四边形内角和定理，得∠EAF=50°．12、分析：由“角平分线＋垂直”易联想到等腰三角形，通过补图，运用等腰三角形三线合一，构造出三角形的中位线．证明：如图，延长AC、BD交于点F，则△ABF为等腰三角形，且BD=DF．又∵E为BC中点，∴ED是△BCF的中位线．．13、证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于点G，连结EG．∵DC∥AB，∴四边形ABGD为平行四边形．∴．在□ACED中，，∴．∴四边形BGEC是平行四边形，∴EF=FB(平行四边形对角线互相平分)．14、分析：因为四边形ABCD是中心对称图形，所以A点和C点，B点和D点是对称点，则线段AC过点O，BD也过点O，且AC、BD都被点O平分，所以四边形ABCD是平行四边形．证明：∵四边形ABCD关于点O成中心对称图形，∴A