高等渗流力学(2017)-第二章-黄世军

高等渗流力学黄世军2017第二章弹性可压缩液体的不稳定渗流理论第一节弹性不稳定渗流的物理过程第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解第三节弹性不稳定渗流的叠加和映射第四节积分变换和特殊函数第五节有界地层弹性不稳定渗流典型解第六节无限大均质油藏试井模型第一节弹性不稳定渗流的物理过程图1定压边界定产量生产时压降曲线弹性驱动方式封闭弹性驱动水压弹性驱动1、定压边界油井以定产量生产地层内压力传播及变化规律如图1所示。分为两个阶段，压力波传播到边界之前称为压力波传播的第一阶段；传到边界之后称为压力波传播的第二阶段(前者又称为不稳定早期，后者又称为不稳定晚期)。一、水压弹性驱动当储集层外面具有广大的含水区，能充分地向地层内补充弹性能量时，称为“水压弹性驱动”。分两种情况讨论：第一节弹性不稳定渗流的物理过程图2定压边界定压生产时压降曲线2、定压边界油井以定压生产地层内压力传播及变化规律如图2所示。其特点是压降漏斗不断扩大，除井点以外各点均加深。由于压降区域不断增加，渗流阻力也逐渐加大，在保持井底压力恒定情况下，相应地井的产量会逐渐下降；压降曲线传到边界以后开始压力波传播的第二阶段，这时边界外的液体开始向地层内不断补充，在相当长时间后，从边界外部流入的液量等于井内排出的液量，此后渗流过程就趋于稳定，压力分布曲线和稳定渗流时的对数曲线一致。第一节弹性不稳定渗流的物理过程图3封闭边界定产量生产时压降曲线1、封闭边界油井以定产量生产地层内压力传播及变化规律如图3所示。压力波传播的第一阶段与定压边界完全一样。但压力波传播的第二阶段，由于边界封闭，无外来能量供给，故压力传到B点后，边界处的压力不断下降，开始时边缘上压力下降幅度比井壁及地层内各点要小些，随着时间的增加，从井壁到边界各点压降幅度逐渐趋于一致。即当井的产量不变，渗流阻力不变(释放能量的区域已固定)时，则地层内弹性能量的释放也相对稳定下来，这种状态称为“拟稳定状态”。二、封闭弹性驱动当储集层外面无能量补充，为一不渗透的封闭边界，这种情况在实际油田开采时，称为封闭弹性驱动，也可以分两种情况来讨论：第一节弹性不稳定渗流的物理过程图4封闭边界定压生产时压降曲线2、封闭边界油井以定压生产地层内压力传播及变化规律如图4所示。压力波传播的第一阶段与定压边界相同，但在压力波传到边界后的第二阶段，由于边界封闭，无外来能量补充，边界处的压力逐渐下降。同样的，由于井底压力保持不变的限制，从第一阶段起压降漏斗范围不断向外扩大，而井的产量也不断下降，到第二阶段后仍不断下降直到趋于零为止，这时地层内各点压力都等于井底压力。第二章弹性可压缩液体的不稳定渗流理论第一节弹性不稳定渗流的物理过程第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解第三节弹性不稳定渗流的叠加和映射第四节积分变换和特殊函数第五节有界地层弹性不稳定渗流典型解第六节无限大均质油藏试井模型第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解设有一半无限长的地层，其厚度为h，宽度为B，地层渗透率为K，原油粘度为μ，地层导压系数为η，原始地层压力为p0，则弹性渗流方程为：221ppxt情形1内边界定压弹性液体在平面上向直线排油属于一维坑道流动，基本数学模型为：22000010,0(,)|0(,)|0(,)|0txwxppxtxtpxtpxpxtptpxtpt（渗流方程）（初始条件）（内边界条件）（外边界条件）一维排油坑道流动示意图一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解一、弹性液体在平面上向直线排油(,)wwxtpdpwtdwtpdpwxdwx222222222ppdpwxxxxdwxdpwdpwxdwxdwxdpwdpwdwxdwx222221dpwdpwdpwdwtdwxdwx(,)wwxtw下面我们讨论如何选择函数使上述方程式变为使之与一个变量有关的常微分方程。第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解一、弹性液体在平面上向直线排油(,)()()wxtXxTt(,)wxt()Xxx()Ttt22','','22221''''dpdpdpXTXTXTdwdwdw或：22221''''dpXTdpdpXXdwTdwdwT由于wXT方程还可以写成：，所以有/XwT2232''''dpTdpdpXwXdwTdwdwT第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解2232''''dpTdpdpXwXdwTdwdwT()Xx()Ttww3'',TXabT,ab'Xa1Xaxc''0X1c3'TbT122(2)Tcbt2c设120cc1a12b，，则：1/2(),()XxxTtt/wxt一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解变化后常微分方程式：2212dpdpwdwdw设()dpUwdw12dUwUdw积分得：2111lnlnln4UwUcc241wdpUcedw2412(,)wpxtcedwc一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解1c和2c,0t0(,0)pxp时,0x时,(0,)wptp/wxt0,tw0,0xw2/(4)012wwpcedwc02cp2/(4)0wwedw一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解2412(,)wpxtcedwc22/(4)/(4)011/(,)2201122(,)2'uuxxttppxtceducedu22wxut2dwdu11'2cc2222002xuuutxtedueduedu202uedu一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解220110'''1()22xutxppceducerft2202()2xutxerfedut称为误差函数或概率函数202()wuerfwedu(0)0erf011''[1(0)]''wppcerfc000(,)()[1()]()()22wwxxppxtpperfpperfctt22()1()uwerfcwerfwedu一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解渗流速度：24000021|()()|2xtxwxwKpKvppextppKt产量：KBhpQvAtQ12t在投产之初,由于边界压力的突然降低,所以产量很高,而时间趋于无穷时,产量趋于零。一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解22404021()()2xtwxtwKpvxKppetppKet一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解0()2wwppxerfppt1t和2t的压力分布曲线，假设在00(,)()[1()]2wxppxtpperft1t时刻和相应的轴坐标值为11x21x和一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解(1)1112Dxperfkt(2)2112Dxperfkt(1)1222Dxperfkt(2)2222Dxperfkt1222211211xxtxxt111212xxtt212212xxtt1t2t时刻曲线是相似的,比例系数为21/tt一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解221ppxtKxKpvx3232222111KpKpxxtKpKpxxtxvvxt一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解22000010,0()(,)|0()(,)|0()(,)|0()txwxvvxtxtvxtvxvxtvtvxtvt渗流方程初始条件内边界条件外边界条件00()12wxvvvverft222uwxtvvedu0|0tv即:00v一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解222(,)uxtxtedu,wKpvvxtx0(,)(0,)(,)xwvpxtptxtdxKpx对从0到积分00(,)(0,)(,)|xxwvpxtptxtxxdK一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解224001(,)(0,)(,)111()xxxtwwvpxtptxxtxedxKtxveerfK2244212xxttdxdeedxtt2xt,wKpvvxtxx(,)|(,)(,)wxxvpxtpxtxtdxK2241(,)|(,)(,)2(,)(1())xtwxxxwivpxtpxtxxtxedxKttvppxtxerfeK(,)|xipxtp一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解可以看出,在排液坑道x=0处，形成了一个压降漏斗，漏斗越深，压降越大，压力传播距离越远。一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解wQQvABh(0,)wpt2(0,)itQptpBhK0xip0t0xwpwp,求任意时刻的压力分布。一、弹性液体在平面上向直线排油第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解该问题的方程和定解条件为：220010,0(,)|0(,)|0(,)|0xwxitippxtxtpxtptpxtptpxtpx渗流方程内边界条件外边界条件初始条件()/()iiwPpppp220010,0(,)|10(,)|00(,)|00xxtPPxtxtPxttPxttPxtx渗流方程内边界条件外边界条件初始条件,xt24xut4xt第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解4xt2220(0)1()0dPdPddPPddPP/'0'2'PddP21'ecddPP2120()PCedC122,1CC第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解202()114xPederft(,)()()144wwiiiwxxpxtppperfppperfttP),(txp(,)()()144wwiiiwxxpxtppperfppperftt第二节弹性不稳定渗流数学模型的典型解22221pppxyt