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第二十七章相似27．2相似三角形27．2.2相似三角形的性质1．(2016·兰州)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应中线的比为()A.34B.43C.916D.1692．若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6cm，则另一个三角形对应角平分线长为____．A8∶92743．已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝6cm，A′B′＝10cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8cm.求△A′B′C′中对应高A′E′的长．解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AEA′E′＝ABA′B′，∴4.8A′E′＝610，∴A′E′＝8cm4．(2016·重庆)△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶165．如果两个三角形相似，且它们的最大边长分别为6cm和8cm，它们的周长之和为35cm，则较小的三角形的周长为____cm.C156．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D.求△BCD与△ABC的周长之比．解：∵∠B＝∠B，∠BDC＝∠BCA＝90°，∴△BCD∽△BAC.在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∴C△BCD∶C△BAC＝BC∶AB＝1∶27．(练习3变式)如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是()A．2∶3B.2∶3C．4∶9D．8∶278．如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为()A．3B．5C．6D．8CD9．(2016·随州)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是()A．1∶3B．1∶4C．1∶5D．1∶25B10．如图，在△ABC中，DE∥BC，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2，BC＝26.求DE的长．解：∵S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2，S△ABC＝S△ADE＋S四边形DBCE，∴S△ADE∶S△ABC＝1∶3，又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE∶S△ABC＝(DEBC)2＝13，又∵BC＝26，∴DE＝2211．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的周长之比为3∶4，则△ABC与△DEF的面积之比为()A．4∶3B．3∶4C．16∶9D．9∶1612．(2016·云南)如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B.如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为()A．15B．10C.152D．5DD13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC边上一点，∠CBD＝∠A，点E，F分别是AB，BD的中点．若AB＝5，AC＝4，则CF∶CE＝____．14．(2016·梅州)如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEC＝3，则S△BCF＝____．3∶4415．如图，在△ABC中，BCAC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．解：(1)∵DC＝AC，CF平分∠ACB，∴AF＝DF.又∵点E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD，即EF∥BC(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEFS△ABD＝(AEAB)2.又∵点E是AB的中点，∴AEAB＝12，∴S△AEFS△ABD＝14，∴S△AEF＝14S△ABD，∴S△ABD－6＝14S△ABD，∴S△ABD＝816．已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8.(1)如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K.①求EFAK的值；②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值．(2)若AB＝AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．解：(1)①∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴AKAD＝EFBC，∴EFAK＝BCAD＝128＝32，即EFAK的值是32②∵EH＝x，∴KD＝EH＝x，AK＝8－x，∵EFAK＝32，∴EF＝32(8－x)，∴S＝EH·EF＝32x(8－x)＝－32(x－4)2＋24，∴当x＝4时，S的最大值是24(2)245或24049点拨：设正方形的边长为a，①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，8－aa＝812，解得a＝245；②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝6，∴AB＝AC＝AD2＋BD2＝62＋82＝10，∴AB或AC边上的高等于AD·BCAB＝8×12÷10＝485，∴485－aa＝48510，解得a＝24049.综上可得，正方形PQMN的边长是245或24049方法技能：1．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，一定要找准“对应”．其实相似三角形中任何对应线段的比都等于相似比，而且可以推广到相似多边形．2．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．易错提示：在求相似三角形的面积比时易与周长比相混淆，相似比不平方而出错．