正、余弦定理复习课件

解三角形一、知识的梳理与整合1、正弦、余弦定理（1）正弦定理：AasinBbsinCcsin==变形2、角转化为边=2R（R为外接圆的半径）a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinCsinA=Ra2Rb2sinB=Rc2sinC=变形3、a:b:c=sinA:sinB:sinC（2）余弦定理：2a=Abccbcos222变形1、变形1、边转化为角变形2、cosA=bcacb2222cosB=acbca2222cosC=abcba2222222acb=2bccosA2accosB222bca=2abcosC222cba=2c=Cabbacos2222b=22Baccacos2变形3、（1）或或222acb222cba222bca直角三角形（2）且且222acb222cba222bca锐角角三角形（3）或或222acb222cba222bca钝角三角形2、三角形常用的面积公式（1）S=21bcsin=acsin21absinC21=AB（4）S=21rcba=Rabc4（3）S=211221yxyx2211,,,yxACyxAB（其中）（2）S=21底高（r、R分别为）三角形内切圆、外接圆的半径在中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则ABC（1）A+B+C=（5）abcABC3、常用结论（2）B=600A、B、C成等差数列sinAsinBsinC（3）sin（A+B）sinCcos（A+B）=cosC（4）2sinBA2CCOS2BACOS2sinC==-二、基本题型的基本思路解三角形的思路已知两角一边已知两边一角已知三边SASSSAASAAASSSSABCabc用正弦定理一解用正弦定理一解ABCabcABCabc用余弦定理一解abcABC用正弦定理用余弦定理abcABC用余弦定理一解判断解的个数判断解的个数abcABCA900B900aAbBsinsin一解A900ab一解a=b一解ababcABCDa=bsinAabcA(B)CD一解abcABCDabsinAB两解absinA无解sinB=1sinB1sinB1AB角B可能为锐角、直角、钝角D判断解的个数abcABC设c=x，=x由余弦定理得：a2=x2+b2-2bxcosA整理得：x2-2bxcosA+b2-a2=0(1)1、若方程（1）无实根或有根均为负时，无解；2、若方程（1）有等根或根为一正一负时，一解；3、若方程（1）有根均为正时，两解；ABC24,34,600baA讲练1：在中，则B=（）ABC2,3,450abA讲练2：在中，则B=（）（一）求三角形中的边和角二、基本题型的基本思路解：aAbBsinsin由正弦定理得：=23baBA045B045解：由正弦定理得：aAbBsinsinbaBA又045A090B有两解0012060或B22=0012060或1、解斜三角形的思路（1）已知条件：两角一边思路：用正弦定理，有解一（2）已知条件：两边一角①两边及夹角思路：用余弦定理，有解一②两边及一边的对角思路：用正弦定理，可能解，两（3）已知条件：三边思路：用余弦定理，有解一若角对边大于等于另一边，则有解；一若角对边小于等于另一边，已知的两边中，可能有两则解；（二）边角统一，求值或判断三角形形状1、边角统一，求值解：sin2A=224Rasin2B=224Rbsin2C=224Rc得CcBbAbc222sinsinsin332cbabc即0222acbcbcb讲练3：钝角的三内角A、B、C的对边为a、b、c且，求角A、B、C度数ABC22sinCCcBbAbc222sinsinsin0222cbcbcbabc0222acbcbb=c或当b=c，B=CC为锐角22sinCC=450（不合题意舍去）当0222acbcb即bcacb22221cosA即A=1200A=900C=450B=150代入思考：上题的解法是把边与角的式子，用正弦定理转化为了关于边的式子，能否转化为角的式子作答呢？讲练3：钝角的三内角A、B、C的对边为a、b、c且求角A、B、C度数ABC22sinCCcBbAbc222sinsinsin解：a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinCCBABC332sinsinsinsinsin即0sinsinsinsinsin222ACCBB0sinsinCB2、判断三角形的形状ABC讲练4：在中，角A、B、C的对边为a、b、c，且满足：试判断三角形的形状ABCCbaBAbasin)sin(2222分析：sin（A+B）sinC=)]sin([sin)]sin([sin22BABAbBABAaBAbBAacossinsincos22温馨提示：统一成角的关系温馨提示：统一成边的关系)]sin([sin)]sin([sin22BABAbBABAaBAbBAacossinsincos22解法2：解法1：由正弦定理得：BABBAAcossinsinsincossin220sinsinBABBAAcossincossinBA2sin2sinBA22或BA22BA或2BA角形为等腰三角形或直角三ABCBAbBAacossinsincos22acbcaRabRbbcacba22222222222222222222bcabacba0)(22222cbaba222cbaba或角形为等腰三角形或直角三ABCsin（A+B）sinC=ABC讲练5：在中，（1）若A=2B，求证：（2）若求证：A=2Bcbba2cbba2证明（1）A=2BsinA=sin2B=2sinBcosBa=2bacaca22223222bbcaca)()(222bcbbca（2）若c-b=0,则B=C=，A=b(b+c)=（1）若c-b≠0,则cbba2B=Cb2+bc=b2+c2=a2cbba2450900cbba2bcba222222cbcbca2cos2cbcBaccbBacos2CBBAsinsincossin2BABBAsinsincossin2BBABAsinsincoscossinBBAsin)sin(A-B=BA=2B证明（2）（2）若求证：A=2Bcbba2或A-B+B=1800（舍去）（三）有关三角形的面积问题ABC334,3BCCA2009福建文7.已知锐角的面积为，，则角C的大小为60°课堂小结：（一）求三角形中的边和角1、解斜三角形的思路（1）已知条件：两角一边用正弦定理，（2）已知条件：两边一角①两边及夹角用余弦定理②两边及一边的对角用正弦定理，可能两解，（3）已知条件：三边用余弦定理，需比较2、“边与角混合”的式子，有两种处理角度（1）统一成角的关系（2）统一成边的关系“角对边”与另一边的大小，确定解的个数谢谢