工程力学-第10章A

应力状态与强度理论及其工程应用第10章返回总目录应力状态的基本概念平面应力状态任意方向面上的应力结论与讨论(1)应力状态中的主应力与最大剪应力广义胡克定律应变能与应变能密度第10章应力状态与强度理论及其工程应用请看下列实验现象：低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的扭转实验问题的提出应力状态概述应力状态的基本概念低碳钢拉伸实验韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁拉伸实验应力状态的基本概念为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？低碳钢扭转实验铸铁扭转实验应力状态的基本概念FPFP受力之前,表面的正方形受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。应力状态的基本概念受力之前,表面斜置的正方形受力之前,在其表面画一斜置的正方形；受拉后，正方形变成了菱形。这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。FPFP应力状态的基本概念受扭之前，圆轴表面为正圆。这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。MxMx受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。这是为什么？应力状态的基本概念xxy''x'x'y'拉中有剪xx根据微元的局部平衡应力状态的基本概念xy''x'x'y'剪中有拉yxxyyxxy根据微元的局部平衡应力状态的基本概念不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。应力状态的基本概念应力的点的概念应力的面的概念应力状态的概念关于应力概念的深化应力状态概述应力状态的基本概念横截面上的正应力分布FNxMzFQ横截面上正应力分析和剪应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。横截面上的剪应力分布应力状态的基本概念微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。xy''x'yxxyxxy''x'应力状态的基本概念应力指明哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？过一点、在不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。应力状态的基本概念微元及其各面上一点应力状态的描述dxdydz微元（Element）描述一点应力状态的基本方法应力状态的基本概念(Three-DimensionalStateofStresses)三向（空间）应力状态yxzxyzxyyxyzzyzxxz应力状态的基本概念(PlaneStateofStresses)平面（二向）应力状态xyxyyxxy应力状态的基本概念xyxxyyxxy单向应力状态(OneDimensionalStateofStresses)纯剪应力状态(ShearingStateofStresses)应力状态的基本概念三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例应力状态的基本概念应力状态的基本概念平面应力状态任意方向面上的应力结论与讨论(1)应力状态中的主应力与最大剪应力广义胡克定律应变能与应变能密度第10章应力状态与强度理论及其工程应用拉为正压为负xxxx正应力方向角与应力分量的正负号约定平面应力状态任意方向面上的应力使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。yxxy剪应力平面应力状态任意方向面上的应力yxntq方向角q由x正向反时针转到x'正向者为正；反之为负。平面应力状态任意方向面上的应力平面应力状态任意方向面上的应力xxyyyx任意方向面nnxxxyyyx平衡对象平衡方程yyx参加平衡的量dA0nFn0tFt——用斜截面截取的微元局部——应力乘以其作用的面积微元的局部平衡xxy平面应力状态任意方向面上的应力0nF0xyyyxndAdAdcoscosxAdcossinxyAdsincosyxAdsinsinyAx平面应力状态任意方向面上的应力利用三角倍角公式，根据上述平衡方程式，可以得到计算平面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy＋－＝＋－－＝平面应力状态中任意方向面上的正应力与剪应力平面应力状态任意方向面上的应力例题1分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。x'y'xx杆件承受轴向拉伸时，其上任意一点均为单向应力状态。根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式cos2sin222xyxyxy＋－＝＋－sin2cos22xyxy－＝平面应力状态任意方向面上的应力根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式cos2sin222xyxyxy＋－＝＋－sin2cos22xyxy－＝在本例的情形下，y＝0，yx＝0。cos222xx＝＋sin22x＝ntxx平面应力状态任意方向面上的应力根据这一结果，当θ＝45º时，斜截面上既有正应力又有剪应力，其值分别为cos222sin22xxx＝＋＝4545,22xx＝＝不难看出，在所有的方向面中，45º斜截面上的正应力不是最大值，而剪应力却是最大值。这表明，轴向拉伸时最大剪应力发生在与轴线夹45º角的斜面上，这正是低碳钢试样拉伸至屈服时表面出现滑移线的方向。因此，可以认为屈服是由最大剪应力引起的。ntxx平面应力状态任意方向面上的应力例题2分析圆轴扭转时最大剪应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。圆轴扭转时，其上任意一点的应力状态为纯剪应力状态。根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式cos2sin222xyxyxy＋－＝＋－sin2cos22xyxy－＝yxxynt平面应力状态任意方向面上的应力根据平面应力状态任意斜截面上的正应力和剪应力公式cos2sin222xyxyxy＋－＝＋－sin2cos22xyxy－＝在本例的情形下，x＝y＝0。sin2xy＝－yxxyntcos2xy＝平面应力状态任意方向面上的应力可以看出，当θ＝45º或θ＝－45º时，斜截面上只有正应力没有剪应力。θ＝45º时(自x轴逆时针方向转过45º)，拉应力最大；θ＝－45º时(自x轴顺时针方向转过45º)，压应力最大：进行铸铁圆试样扭转实验时，正是沿着最大拉应力作用面（即－45º螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。sin2cos2xyxy＝－＝max45450xy＝＝＝max45450xy_－－＝＝-＝yxxynt平面应力状态任意方向面上的应力应力状态的基本概念平面应力状态任意方向面上的应力结论与讨论(1)应力状态中的主应力与最大剪应力广义胡克定律应变能与应变能密度第10章应力状态与强度理论及其工程应用yxxyτ22tanp＝－主平面、主应力与主方向cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy＋－＝＋－－＝sin2cos2=02xyxy－＝剪应力＝0的方向面，称为主平面（principalplane），其方向角用p表示。应力状态中的主应力与最大剪应力将上式对求一次导数，并令其等于零，有d()sin22cos20dxyxy＝－－＝由此解出的角度角度与P具有完全一致的形式。这表明，主应力具有极值的性质，即当坐标系绕z轴(垂直于xy坐标面)旋转时，主应力为所有坐标系中正应力的极值。yxxyτ22tan＝－cos2sin222xyxyxy＋－＝＋－应力状态中的主应力与最大剪应力根据剪应力成对定理，当一对方向面为主平面时，另一对与之垂直的方向面(＝P＋π/2)，其上之剪应力也等于零，因而也是主平面，其上之正应力也是主应力。应力状态中的主应力与最大剪应力σσ需要指出的是，对于平面应力状态，平行于xy坐标面的平面，其上既没有正应力，也没有剪应力作用，这种平面也是主平面。这一主平面上的主应力等于零。0σ应力状态中的主应力与最大剪应力平面应力状态的三个主应力cos2sin222xyxyxy＋－＝＋－p2tan2xyxy＝－pp+2224212xyyxyx＝224212xyyxyx＝0＝应力状态中的主应力与最大剪应力224212xyyxyx＝224212xyyxyx＝0＝以后将按三个主应力代数值由大到小顺序排列，并分别用123,,表示，即321应力状态中的主应力与最大剪应力根据主应力的大小与方向可以确定材料何时发生失效或破坏，确定失效或破坏的形式。因此，可以说主应力是反映应力状态本质的特征量。应力状态中的主应力与最大剪应力yyxxyxxyx-y坐标系x´-y´坐标系xy''y'yx''x'x'y'PyPxypxpxp-yp坐标系因此，同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。在无穷多种表达形式中有没有一种简单的、但又能反映一点应力状态本质的表达形式？应力状态中的主应力与最大剪应力根据上述结果，原来用x、y、xy和yx表示的应力状态，现在可以用主应力表示。显然，用主应力表示的应力状态要比用一般应力分量表示的应力状态简单。用主应力表示一点处的应力状态可以说明某些应力状态表面上是不同的，但实质是相同的，即其主应力和主方向都相同。yyxxyxxy应力状态中的主应力与最大剪应力由此得出另一特征角，用s表示sin2cos22xyxy－＝对求一次导数，并令其等于零，得到d()cos22sin20dxyxyτ＝－＝stan22τxyxy＝－与正应力相类似，不同方向面上的剪应力亦随着坐标的旋转而变化，因而剪应力亦可能存在极值．为求此极值，将面内最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力得到的极值stan22τxyxy＝－sin2cos22xyxy－＝22421xyyx＝需要特别指出的是，上述剪应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大剪应力（maximumshearingstressesinplane）与面内最小剪应力。二者不一定是过一点的所有方向面中剪应力的最大和最小值。面内最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力为确定过一点的所有方向面上的最大剪应力，可以将平面应力状态视为有三个主应力（σ1、σ2、σ3）作用的应力状态的特殊情形，即三个主应力中有一个等于零。考察微元三对面上分别作用着三个主应力（σ1σ2σ30）的应力状态。过一点所有方向面中的最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力考察微元三对面上分别作用着三个主应力（σ1σ2σ30）的应力状态。过一点所有方向面中的最大剪应力应力状态中的主应力与最大剪应力σx=σ3,σy=σ2，τxy＝022421xyyx＝这就是Ⅰ组方向面内的最大剪应力。232－＝在平行于主应力σ1方向的任意方向面Ⅰ上，正应力和剪应力都与σ1无关。因此，当研究平行于σ1的这一组方向面上的应力时，所研究的应力状态可视为一平面应力状态：应力状态中的主应力与最大剪应力在平行于主应力σ2方向的任意方向面Ⅱ上，正应力和剪应力都与σ2无关。因此，当研究平行于σ2的这一组方向面上的应力时，