第二章：随机变量及其分布列复习

本章知识结构随机变量离散型随机变量分布列均值方差正态分布正态分布密度曲线3原则两点分布二项分布超几何分布条件概率两事件独立1．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi的概率为P(ξ=xi)=pi，则称下表：ξx1x2x3…xi…Pp1p2p3…pi…为离散型随机变量ξ的分布列．(2)离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0；②p1+p2+…+pi+…=1(i=1,2,3，…)．1(0p12)常见的离散型随机变量的分布两点分布分布列为其中．：ξ01P1-pp00,1,2,3()(0,1,21)()0(0,1,22)1.kknknnkknknknAnPkCpqknqpPkknCpq二项分布在次独立重复试验中，事件发生的次数是一个随机变量，其所有可能取的值为，，，并且其中，，，．显然，，，()npBnp称这样的随机变量服从参数为和的二项分布，记为～，．(3)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有ξ件次品，则事件｛ξ=k｝发生的概率为P(ξ=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N，M≤N，n,M,N∈N*.称分布列为.如果随机变量ξ的分布列为超几何分布列,则称随机变量ξ服从超几何分布.knkMNMnNCCCξ01…MP…00nMNMnNCCC11nMNMnNCCCmnmMNMnNCCC超几何分布列11222211222()(.3)()1nnnnExpxpxpDxEpxEpxEp离散型随机变量的均值与方差、标准差若的分布列为：则均值，方差．ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…D标准差离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于均值的平均波动大小（即ξ取值的稳定性）.4.性质(1)E(c)=c,E(aξ+b)=(a、b、c为常数);(2)设a、b为常数,则D(aξ+b)=(a、b为常数);(3)若ξ服从二项分布，即ξ～B(n,p),则Eξ=,Dξ=;(4)若ξ服从两点分布,则Eξ=,Dξ=.11a·Eξ+ba2·Dξnpnp(1-p)pp(1-p)5、条件概率与相互独立事件(1)、条件概率()()()()()nABPABPBAnAPA(()0)PA注：(2)、相互独立事件：()()()PABPAPBA、B相互独立6.正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ0)为参数，我们称的图象(如图)为正态分布密度曲线,简称正态曲线.22221)(eπx)(,x)(,x(2)正态曲线的性质：①曲线位于x轴______,与x轴不相交；②曲线是单峰的,它关于直线_______对称；③曲线在______处达到峰值④曲线与x轴之间的面积为__；⑤当σ一定时,曲线随着___的变化而沿x轴平移,如图甲所示；;π21上方x=μx=μ1μ⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ____，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ_____,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.越小越大2.正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aX≤b)=,则称X的分布为正态分布,记作__________.(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ-σX≤μ+σ)=_________;②P(μ-2σX≤μ+2σ)=________;③P(μ-3σX≤μ+3σ)=_________.xxbad)(,N(μ,σ2)0.68260.95440.9974应用举例摸球中的分布一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为3的球3个。现从中任意抽取3个球，1、求恰好抽出两个2号球的概率2146310(2)0.3CCPXC2134643310101(2(2)(3)3CCCPXPXPXCC）2、求至少抽出两个2号球的概率超几何分布变式一：一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为3的球3个。现从中不放回地依次取出两个球.1、求第一次抽到3号球，第二次抽到1号球的概率.2、求在第一次抽出3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率.3、求两球号码之和X的分布列、均值和方差.0.113XP21/1534/1541/354/1561/154EX1615DX变式二：一盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为3的球3个，现从中依次有放回地抽取3个球1、求恰好抽出两个2号球的概率223()0.4)(0.6)36125PAC（/2233033()0.4)(0.6)(0.4)(0.6)44/125PBCC（二项分布2、求至少抽出两个2号球的概率变式三：一盒子中有大小相同的球6个，其中标号为1的球4个，标号为2的球2个，现从中任取一个球，若取到标号2的球就不再放回，然后再取一个球，直到取到标号为1的球为止，求在取到标号为1的球之前已取出的2号标号球数X的均值.XP0122/34/151/150.4EX求概率1、已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率（）A.1/5B.4/15C.2/5D.14/152、已知10件产品，其中3件次品，不放回抽取3次，已知第一次抽到是次品，则第三次抽次品的概率是。A2/93.2设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件。1在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件是不合格品的概率。_______________概率是是男孩的孩，则这时另一个小孩已知这个家庭有一个女等可能的，小孩，假定生男生女是练、一个家庭中有两个的均值。求行的局数，局开始到比赛结束所进表示从第设的概率。求甲获得这次比赛胜利局局中，甲、乙各胜知前比赛结果相互独立。已，各局，乙获胜的概率为局中，甲获胜的概率为一利，比赛结束。假设在局者获得这次比赛的胜先胜棋比赛，约定甲、乙二人进行一次围全国卷321124.06.032009.45、甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个独立的随机变量X与YX10987650P0.50.20.10.10.050.050Y10987650P0.10.10.10.10.20.20.2试通过X,Y的期望与方差，分析甲、乙的技术优劣.8.85EX5.6EY由于EXEY故从平均水平看甲的平均水平比乙的平均水平高2.2275DX3.968DY又DXDY，则从稳定性来看，甲的稳定性比乙的稳定性好1.(2008·湖南)设随机变量X服从正态分布N(2,9),若P(Xc+1)=P(Xc-1),则c等于()A.1B.2C.3D.4解析∵μ=2，由正态分布的定义知其函数图象关于x=2对称,于是∴c=2.,2211ccB正态分布2.已知ξ~N(0,σ2)且P(-2≤ξ≤0)=0.4,则P(ξ2)的值为()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4解析根据正态曲线的对称性,P(-2≤ξ≤2)=2P(-2≤ξ≤0)=0.8..1.028.01)2(PA3.（12分)设在一次数学考试中,某班学生的分数服从X~N(110，202),且知满分150分,这个班的学生共54人.求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数.要求及格的人数,即求出P(90≤X≤150),而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值的概率形式,然后利用对称性求解.思维启迪解因为X~N(110,202),所以μ=110,σ=20.2分P(110-20X≤110+20)=0.6826.6分所以,X130的概率为8分所以,X≥90的概率为0.6826+0.1587=0.8413.10分∴及格的人数为54×0.8413≈45(人),130分以上的人数为54×0.1587≈9(人).12分..).(71580668201214.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布问在一次正常的试验中,取1000个零件时,不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？解∴不属于区间(3,5)的概率为P(X≤3)+P(X≥5)=1-P(3X5)=1-P(4-1X4+1)=1-P(μ-3σXμ+3σ)=1-0.9974=0.0026≈0.003,∴1000×0.003=3(个),即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个.),,(914N.31,4),91,4(~NX