高中数学全程复习方略第三章--导数及其应用-章末总结-阶段复习课(共60张PPT)

点击进入相应模块第三章章末总结/阶段复习课【备选答案】A.若f′(x)0，则y=f(x)递增；若f′(x)0，则y=f(x)递减B.平均变化率C.①求f′(x)；②解方程f′(x)=0；③判断两侧符号D.切线斜率k=f′(x0)E.①求极值；②极值与端点对应的函数值比较F.瞬时变化率yxΔxΔylim.ΔxBFDACE导数的几何意义【技法点拨】1.导数几何意义的应用2.求切线方程时的注意事项一定要分清是求在点P处的切线方程，还是求过点P的切线方程，即点P是否为切点.【典例1】已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.【解析】(1)点(2，－6)在曲线y＝f(x)上.∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)方法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝＋1，∴直线l的方程为y＝又∵直线l过点(0,0)，∴0＝整理得，＝－8，∴x0＝－2,203x2300003x1xxxx16＋－＋＋－，2300003x1xxxx16＋－＋＋－，20x∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13,∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).方法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝又∵k＝f′(x0)＝＋1，∴300000y0xx16.x0x－＋－＝－203x320000xx163x1x＋－＝＋，解之得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).【想一想】(1)求曲线的切线方程的关键点是什么？(2)本例(2)中方法二的技巧关键点是什么？提示：(1)关键是确定切线的斜率与一个具体的点，利用点斜式求直线方程.(2)方法二的巧妙之处在于设出切点，结合原点利用斜率公式表示出切线斜率，又结合导数的几何意义，根据斜率相等求出切点.利用导数研究函数的单调区间【技法点拨】利用导数求可导函数的单调区间的一般步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域；(2)求f′(x);(3)解不等式f′(x)0或f′(x)0；(4)不等式的解集与定义域取交集；(5)确定并写出函数的单调递增区间或单调递减区间.【典例2】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0，试用含a的代数式表示b，并求f(x)的单调区间.13【解析】解题流程:求导解f′(x)=0依题意，得f′(x)=x2+2ax+b.由f′(-1)=1-2a+b=0得b=2a-1,从而f′(x)=x3+ax2+(2a-1)x,则f′(x)=x2+2ax+(2a-1)令f′(x)=0，得x=-1或x=1-2a13分类讨论两根大小⑤当a1时，1-2a-1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：由此得，函数f(x)的单调增区间为(-∞,1-2a)和(-1，+∞),单调减区间为(1-2a,-1).②当a=1时，1-2a==-1，此时有f′(x)≥0恒成立，且仅在x=-1处f′(x)=0，故函数f(x)的单调增区间为R.③当a1时，1-2a-1，同理可得，函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(1-2a，+∞)，单调减区间为(-1,1-2a)x(-∞，1-2a)(1-2a，-1)(-1，+∞)f′(x)+-+f(x)单调递增单调递减单调递增结论综上，当a1时，函数f(x)的单调增区间为(-∞，1-2a)和(-1，+∞)，单调减区间(1-2a,-1)当a=1时，函数f(x)的单调增区间为R;当a1时，函数f(x)的单调增区间为(-∞，-1)和(1-2a，+∞)，单调减区间为(-1,1-2a).【思考】(1)解答本题的注意点是什么？(2)解答本题时分类讨论的标准是什么？提示：(1)在运用导数求函数单调区间时，一定要注意函数定义域，另外当函数的单调区间不唯一的时候，两个区间之间不能用并集符号.(2)本题分类的标准是f′(x)＝0的两个根－1与1－2a的大小.利用导数研究函数的极值和最值【技法点拨】1.应用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号.若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；否则，此根不是f(x)的极值点.2.求函数f(x)在闭区间［a，b］上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值.3.利用导数求函数的最值时的注意点(1)当f(x)在［a，b］上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；(2)当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).【典例3】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－4，使其导函数f′(x)0的x的取值范围为(1,3).(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；(2)当x∈［2,3］时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值.【解析】(1)由题意知f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝3a(x－1)(x－3)(a0)，∴在(－∞，1)上f′(x)0，f(x)是减函数，在(1,3)上f′(x)0，f(x)是增函数，在(3，＋∞)上f′(x)0，f(x)是减函数.因此，f(x)在x0＝1处取得极小值－4，在x＝3处取得极大值.a＋b＋c＝－4，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0，f′(3)＝27a＋6b＋c＝0，解得a＝－1，b＝6，c＝－9，∴f(x)＝－x3＋6x2－9x.则f(x)在x＝3处取得极大值f(3)＝0.(2)g(x)＝－3(x－1)(x－3)＋6(m－2)x＝－3(x2－2mx＋3)，令g′(x)＝－6x＋6m＝0，得x＝m.①当2≤m≤3时，g(x)max＝g(m)＝3m2－9；②当m2时，g(x)在［2,3］上是递减的，g(x)max＝g(2)＝12m－21；③当m3时，g(x)在［2,3］上是递增的，g(x)max＝g(3)＝18m－36.【思考】(1)解答本题(1)的关键点是什么？(2)解答本题(2)的讨论标准是什么？提示：(1)确定a,b,c的值是本题的关键，根据方程思想，我们要得三个未知数，需得这三个未知数的方程.所以由条件列出关于a,b,c的三个方程是解决问题的关键所在.(2)本题中m的取值影响了函数的单调性，进而影响了函数的最大值，所以要对m与区间［2,3］的关系进行讨论，这就是分类讨论的标准所在.利用导数求解参数的取值范围【技法点拨】1.解不等式恒成立问题的方法(1)利用函数的单调性的定义；(2)利用导数法更简洁.在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f′(x)0(或f′(x)0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零.2.利用导数法解决取值范围问题时的基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上恒成立问题，利用分离参数或函数性质求解参数的取值范围，然后检验参数取“=”时是否满足题意；(2)先令f′(x)0(或f′(x)0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“=”，看此时f(x)是否满足题意.【典例4】已知函数f(x)=,x∈［1,+∞).(1)若f(x)在x∈［1,+∞)上有零点，求实数a的取值范围；(2)若f(x)在x∈［1,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围.2x2xax【解析】(1)函数f(x)在x∈［1,+∞)上有零点，即方程=0在［1,+∞)上有解，∴x2+2x+a=0在［1,+∞)上有解，令g(x)=x2+2x+a，则由于其图象的对称轴为x=-1，∴结合图象可得，要使x2+2x+a=0在［1,+∞)上有解，需g(1)≤0,即a+3≤0.由此得a≤-3.2x2xax(2)∵f′(x)=，又f(x)在［1,+∞)上单调递增，∴当x≥1时，f′(x)≥0恒成立，即x≥1时，x2≥a成立，又y=x2在x≥1的最小值为1，故a≤1.22xax【想一想】(1)解答本题(1)的关键点是什么？(2)解答本题用到的思想方法是什么？提示：(1)由题意得到g(x)=x2+2x+a在［1,+∞)上单调递增，进而要满足题意，只需g(1)≤0.(2)本题(1)(2)均用到了转化化归的数学思想.根据条件灵活地将问题转化到我们熟悉的问题上，是解决问题的一种常用方法.导数在实际中的应用问题【技法点拨】1.解决实际问题的方法解决这类问题时，需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系式，并确定函数的定义域，通过创造区间求最值的情境，利用导数这一工具，从数学角度解决实际问题，所求得的结果要符合实际意义.2.最优化问题需要注意的问题最优化问题一般指的是单峰函数的最值问题，即在实际问题中，如果遇到函数在区间上只有一个点使得f′(x)=0，且函数在该点取得极大(小)值，那么它也是函数的最大(小)值，不需要与区间端点处的函数值比较.简言之，函数在区间上如果只有一个极值点，那么该极值点必为最值点.【典例5】某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：①y=+2；②y＝4lgx－3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？x150【解析】(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：当x∈［10，1000］时，①f(x)是增函数；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤恒成立.(2)①对于函数模型y=+2：当x∈［10，1000］时，f(x)是增函数，则f(x)max=f(1000)=所以f(x)≤9恒成立.x5x150100020229.1503因为函数在［10，1000］上是减函数，所以即f(x)≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.fx12x150xmaxfx111.x15055［］x5②对于函数模型f(x)＝4lgx－3：当x∈［10，1000］时，f(x)是增函数，则f(x)max=f(1000)=4lg1000-3=9.所以f(x)≤9恒成立.设g(x)＝4lgx－3－，则g′(x)=x54lge1.x5当x≥10时，g′(x)=所以g(x)在［10，1000］上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1＜0.所以4lgx－3－＜0，即4lgx－3＜，所以f(x)恒成立.故该函数模型符合公司要求.24lge12lge1lge10x555，x5x5x5【思考】解答本题的关键是什么？提示：解答本题的关键在于能够从问题情境中抽象概括出函数需要具备的三个性质,即本题(1)的三个结果.1.设y=x-lnx，则此函数在区间(0,1)内为()(A)单调递增(B)有增有减(C)单调递减(D)不确定【解析】选C.∵y′=∴在x∈(0,1)时，x-1＜0,x＞0即y′＜0,∴函数在(0，1)上单调递减.1x11xx，2.函数f(x)=ex+ax有大于零的极值点，则a的取值范围为()(A)a＜1(B)a＞1(C)a＜-1(D)a＞-1【解析】选C.假设x0为f(x)的极值点，则f′(x0)＝+a=0,∴a=-.∵x0＞0,∴a＜