范钦珊工程力学-第八章

第8章梁的位移分析与刚度设计•梁的轴线将弯曲成平面曲线，•梁的横截面变形后依然保持平面，且仍与梁变形后的轴线垂直。•由于发生弯曲变形，梁横截面的位置发生改变，这种改变称为位移。第8章梁的位移分析与刚度设计平面弯曲情形下位移是各部分变形累加的结果。位移与变形有着密切联系，但又有严格区别。有变形不一定处处有位移；有位移也不一定有变形。这是因为，杆件横截面的位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约束有关。第8章梁的位移分析与刚度设计基本概念工程中的叠加法梁的刚度设计结论与讨论简单的静不定梁小挠度微分方程及其积分第8章梁的位移分析与刚度设计返回总目录重点内容工程中的叠加法梁的刚度设计简单的静不定梁小挠度微分方程及其积分返回总目录第8章梁的位移分析与刚度设计返回基本概念第8章梁的位移分析与刚度设计返回总目录梁弯曲后的挠度曲线梁的挠度与转角基本概念梁的位移与约束密切相关梁的位移分析的工程意义梁弯曲后的挠度曲线基本概念梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线（elasticcurve），或挠度曲线（deflectioncurve），简称弹性线或挠曲线。梁弯曲后的挠度曲线根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：EIM＝1梁弯曲后的挠度曲线梁的挠度与转角基本概念梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（slope），用表示；w梁的挠度与转角横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。在小变形情形下，水平位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。ww梁的挠度与转角在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。于是有tanddxwxwddw＝w（x），称为挠度方程（deflectionequation）挠度方程挠曲线性质（2）挠曲线上任一点的切线斜率等于梁上该截面的转角值。（1）挠曲线上任一点的纵坐标等于梁上该截面的挠度值；xwdd基本概念梁的位移与约束密切相关三种承受弯曲的梁AB段各横截面都受有相同的弯矩（M＝Fa）作用。三种情形下，AB段梁的曲率（1／）处处对应相等，因而挠度曲线具有相同的形状。但是，在三种情形下，由于约束的不同，梁的位移则不完全相同。对于没有约束的梁，因为其在空间的位置不确定，故无从确定其位移。EIM＝1没有约束连续光滑曲线；铰支座对位移的限制xwAB段位移为正:W0AB段弯矩为：PFa约束对位移的影响连续光滑曲线；固定端对位移的限制xwAB段位移为负:W0AB段弯矩为：PFa约束对位移的影响由此可见，由于约束的不同，梁的位移不完全相同。没有约束的梁，无从确定其位移。AB段位移为正:W0AB段位移为负:W0约束对位移的影响基本概念梁的位移分析的工程意义位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管变形和位移都是弹性的，工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。梁的位移分析的工程意义1940年11月，华盛顿州的TacomaNarrows桥，由于桥面刚度太差，在45mph风速的情形下，产生“GallopingGertie”(驰振）。机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时,两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作；加大齿轮磨损，在转动的过程中产生很大的噪声；当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。梁的位移分析的工程意义工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，板簧既可以承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，起到抗振和抗冲击的效果。梁的位移分析的工程意义返回小挠度微分方程及其积分第8章梁的位移分析与刚度设计返回总目录小挠度曲线微分方程积分常数的确定：约束条件与连续条件小挠度微分方程及其积分小挠度曲线微分方程小挠度微分方程及其积分力学中的曲率公式数学中的曲率公式EIM123222dd1dd1xwxw小挠度曲线微分方程小挠度情形下：挠度远小于跨度——挠曲线是一非常平坦的曲线，转角十分小。弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。22322dd1d1dwxwxEIMxw22dd21dwdx小挠度微分方程EIMxw22ddEIMxw22dd2002dd,wMx2002dd,wMx采用w朝下为正的坐标系采用向下的w坐标系，有EIMxw22dd其中C、D为积分常数。2002dd,wMxCxEIxMxwldddDCxxxEIxMwlldd挠度方程转角方程积分常数如何确定？挠度方程和转角方程积分常数的确定约束条件与连续条件小挠度微分方程及其积分在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线：在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，θ1＝θ2约束条件与连续条件w1=w2，θ1=θ2w=0，θ=0w=0w1=w2θ1θ2i）固定端：ii）简支端：iii）铰链连接：iv）连续性条件：约束条件与连续条件由M的方向确定挠曲线的凹凸性;由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状及位置。关于梁的连续光滑曲线EIMxw22dd试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状EIMxw22dd关于梁的连续光滑曲线EIMxw22ddAB段：M=0，直线（水平线或斜直线）BC段：M0，下凸曲线CD段：M=0，直线固定端：水平相切试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状关于梁的连续光滑曲线试根据连续光滑性质以及约束条件，画出梁的挠度曲线的大致形状关于梁的连续光滑曲线FP例题1求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。已知：简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。小挠度微分方程及其积分解：1．确定梁约束力2．分段建立梁的弯矩方程AB段BC段1P3044lMxFxx2PP3444llMxFxFxxl－－解：3．将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分积分后，得211P2d30d44wlEIMxFxxx222PP2d3d444wllEIMxFxFxxlx＝－－＋－12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI－＋＝－113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw－＋＝－其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定。解：4.利用约束条件和连续条件确定积分常数12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI－＋＝－113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw－＋＝－在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等:x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=212P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI－＋＝－113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw－＋＝－x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=02P211287lFCC＝解：5．确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角22P378128FxxlEIAB段BC段xlxEIFxw23P128781222P317824128FlxxxlEIxllxxEIFxw233P128746181据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为EIlFwB3P25632P7128AFlEI2P5128BFlEI－确定约束力,判断是否需要分段以及分几段分段建立挠度微分方程微分方程的积分利用约束条件和连续条件确定积分常数确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结分段写出弯矩方程返回工程中的叠加法第8章梁的位移分析与刚度设计返回总目录重点掌握在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表。杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线；位移是杆件变形累加的结果；在小变形条件下的力的独立作用原理采用叠加法（superpositionmethod）由现有的挠度表得到在很多复杂情形下梁的位移。q，ql各自单独作用时的弯矩分别为M1，M2；共同作用时的弯矩为M。12MMMq，ql各自单独作用时的挠度分别为w1，w2；共同作用下的挠度为w2112ddwMxEI2222ddwMxEI22221212122222ddd()ddddd12可以推广到多个载荷作用的情况悬臂梁简支梁1简支梁2外伸梁叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形工程中的叠加法叠加法应用于多个载荷作用的情形工程中的叠加法当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线；位移是杆件变形累加的结果；在小变形条件下的力的独立作用原理已知：简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度wC；B截面的转角B例题2321CCCC解：1.将梁上的载荷变为3种简单的情形。123BBBB解：2.由挠度表查得3种情形下C截面的挠度；B截面的转角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,,,,,EIqlEIqlEIqlBBB33323131161241解：3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加,EIqlwwiCiC43138411EIqliBiB3314811叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形工程中的叠加法已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求：C截面的挠度和转角wC和C例题3解：1.首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。分别画出这两种情形下挠度曲线的大致形状。于是，由挠度表中关于承受均布载荷