二次函数复习课件

二次函数1、二次函数的解析式y=ax2+bx+c(一般式)y=a(x-h)2+k(顶点式)顶点对称轴)4ab4ac,2ab2(2ab直线x(h,k)x=h2ab2xxx21+x)(交点式）)(xa(xy21x主要用于待定系数法求二次函数解析式(a≠0)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方法的步骤是f(x)＝____________________；f(x)＝_____________________＝ax＋b2a2＋4ac－b24a.(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为__________________，(2)顶点坐标是______________________；(3)开口方向；当a＞0时，开口_____，当a＜0时，开口________．ax2＋bax＋cax＋b2a2－b24a＋c－b2a，4ac－b24ax＝－b2a向上向下2.y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质：定义域为R.(4)值域：当a＞0时，值域为，当a＜0时，值域为，(5)二次函数的单调性及最值当a＞0时单调减区间为，增区间为；并且当x＝－b2a时，f(x)min＝________..当a＜0时，函数在－∞，－b2a上______，在－b2a，＋∞上______，当x＝－b2a时，f(x)max＝____________.递减递增4ac－b24a4ac－b24ax0y-11x0y1-1x0y-113.二次函数在闭区间上的最值在闭区间的端点或二次函数的顶点处取得(1)抛物线与x轴的交点情况二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac有两个交点△=b2-4ac0有一个交点△=b2-4ac=0没有交点△=b2-4ac0顶点0Δ0a0Δ0ax无论取何值,y总是大于零y0xx无论取何值,y总是小于零y0x4.一元二次方程根的分布.(1)方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根：一正一负bacabaca两正根两负根一零根ac0;Δ0x1+x2=-0x1·x2=0;Δ0x1+x2=-0x1·x2=0;C=0Δ0x1·x2=0ca解：寻求等价条件例1.m为何实数值时，关于x的方程（1）有实根（2）有两正根（3）一正一负2(3)0xmxm++22(1)4(3)0412062.mmmmmm+，得：或1212062(2)006300mmxxmmmxx++或得得：12062(3)3.030mmmxxm+或得得：第7讲│知识梳理(7)．根与系数的关系二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，这里的x1，x2是方程f(x)＝0的两根，则根与系数的关系是____________．x1＋x2＝－ba，x1·x2＝ca))((0)(.4,.3,0,0,0.2)04(24.1021221212212121222xxxxacbxaxxxxxxxxxacxxabxxacbaacbbxcbxax+++++++因式分解为根一元二次方程为、以韦达定理：方程没有实根；方程有两个相同实根；方程有两个不同实根；判别式：求根公式：对一元二次方程解一元二次方程的方法有几种?方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如)0()(22+ppnmxpx或.xpmxnp+或可得962+x解：移项096.2+x　　例63,x+　x＋6=3x＋6=－3,方程的两根为x1=－3,x1=－9.练习①先化为一般形式；②再确定a、b、c,求b2-4ac；③当b2-4ac≥0时,代入公式:2±42bbacxa--=若b2-4ac＜0,方程没有实数根.　　例0263.2xx解：3,6,2.abc224643260.bac6606215315,663x12315315,.33xx+∆=0方程有两个不等的实数根即04132xx练习：　解：11,3,.4abc2214344.4bac3432,212x122332,.22xx+∆=0方程有两个不同的实数根即1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;2.理论依据是:如果两个因式的积等于零那么至少有一个因式等于零.因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;例1解下列方程：221220;132522.44xxxxxxx++　　　解：（1）因式分解，得于是得x－2＝0或x＋1=0,x1=2，x2=－1.(x－2)(x＋1)=0.例题解析(2)移项、合并同类项，得2410.x因式分解，得(2x＋1)(2x－1)=0.于是得2x＋1=0或2x－1=0,1211,.22xx我来试一试十字相乘法我思我进步例1、解下列方程1、x2+5x+6=0解：x2+5x+6=0xx231、因式分解竖直写2、交叉相乘验中项3、横向写出两因式2x+3x=5x(x+2)和(x+3)x+2=0x=-3x+3=0x=-2∴x1=-2,x2=-3(x+2)(x+3)=02、x2-x-12=0解：x2-x-12=03xx-43x-4x=-x(x+3)(x-4)=0x+3=0X=-3x-4=0X=4∴x1=-3,x2=4十字相乘法分解因式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).x2+(a+b)x+ab=0(x+a)(x+b)=0十字相乘法解一元二次方程：(x+a)=0或(x+b)=0归纳总结3、x2-6x+8=0解：x2-6x+8=0xx-4-2-2x-4x=-6x(x-2)(x-4)=0x-2=0x=2x-4=0x=4∴x1=2,x2=4解下列方程1、x2－3x－10=02、(x+3)(x－1)=5解：原方程可变形为解：原方程可变形为(x－5)(x+2)=0x2+2x－8=0(x－2)(x+4)=0x－5=0或x+2=0x－2=0或x+4=0∴x1=5,x2=-2∴x1=2,x2=-4十字相乘法4、6x2-11x-35=0解：6x2-11x-35=02x3x-75-21x+10x=-11x(2x-7)(3x+5)=02x-7=03x+5=0∴十字相乘法分解因式:211221221)(ccxcacaxaa+++))((2211cxacxa++0273)4(2+xx练习用十字相乘法解下列方程1、2x2+7x+3=02、2x2-7x+3=03、x2-8x+15=04、x2+6x-16=0右化零左分解两因式各求解简记歌诀：例2解下列方程0232)1(2+yy08103)2(2+xx045314)3(2xx024223)4(2+xx解下列方程先胜为快;0)45(1).1(+xx;2423).2(xxx);12(4)12).(3(2++xx12)2)(1).(4(xx规律：1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；2.若常数项为0（ax2+bx=0），应选用因式分解法；3.若一次项系数和常数项都不为0(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。练习解下列方程0214)5(2xx023)2(2++xx023)1(2+xx02)4(2xx02)3(2+xx例题欣赏按括号中的要求解下列一元二次方程：（1）4(1+x)2=9（直接开平方法）；（2）x2+4x+2=0（配方法）；（3）3x2+2x-1=0（公式法）；（4）(2x+1)2=-3(2x+1)（因式分解法）练习：用最好的方法求解下列方程1、（3x-2）²-49=02、（3x-4）²=（4x-3）²3、4y=1-y²23解：（3x-2）²=493x-2=±7x=x1=3，x2=-35372解：法一3x-4=±（4x-3）3x-4=4x-3或3x-4=-4x+3-x=1或7x=7x1=-1，x2=1法二（3x-4）²-（4x-3）²=0（3x-4+4x-3）（3x-4x+3）=0（7x-7）（-x-1）=07x-7=0或-x-1=0x1=-1，x2=1解：3y²+8y-2=0b²-4ac=64-43（-2）=88X=68883224,322421+xx练习：选用适当方法解一元二次方程：（1）(x-1)(x+3)=12（2）(x-3)2=4x（3）(2y+1)2+2(2y+1)+1=0（4）(x-1)2=9(x+2)2二次函数的图象和性质一．二次函数的图象：抛物线１．开口方向：２．对称轴和函数的单调性:３．顶点坐标：４．最值：（１）x∈R时(2)x∈[m,n](mn)①(-b/2a)∈[m,n]时,若a0,则x=-b/2a,ymin=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4aymax=max{f(m),f(n)}(或比较区间端点与对称轴距离的大小来确定,在离对称轴远的端点处取得最大值.)a0,ymax=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a,ymin=min{f(m),f(n}(或仿照ymax的方法确定)②n-b/2a或m-b/2a时,二次函数是单调函数,可根据函数的单调性或图象确定最值.③函数值大小的比较:设P,Q是二次函数图象上二点,则当a0时,距离对称轴越近的点,其纵坐标越小,而当a0时,则反之.1、求下列二次函数的最大值或最小值32)1(2++xxyxxy42)2(2x0yx=11-2热身训练)13(23)1(2+xxyx２、求下列二次函数的最大值或最小值x0y-3123xymin=4.25ymax=f(1)=2x0yx=114时当3x526maxy时当1x56miny0xy]1,3[1251)2(2+xxxy5x1-3]2,1[1221)3(2+xxxyx0y-122x时当1x25miny时当2x5maxy时当1x25miny时当2x5maxy根据闭区间函数最值的求法求最植。2、判断-b/2a是否在闭区间内。3、1、配方，求二次函数图象的对称轴方程x=-b/2a;３：上的最大值与最小值在区间求函数]1,1[)(32++Raaxxy解：32++axxy43)2(22aax++2ax对称轴为时即当212)1(aa上单调递增，在]11[32++axxy时当1xay4min时当1xay+4maxyx0-112ax时即当00021)2(aa时当2ax432minay时当1xay+4max时即当02120)3(aa时当2ax432minay时当1xay4max时即当212)4(aa上单调递减在]1,1[32++axxy时当1xay4max时当1xay+4minx0y-11x0y1-1x0y-114:和最小值上的最大值在求函数]1,[322++ttxxy解:2)1(3222++xxxy1x对称轴时即当011)1(+tt上单调递减在]1,[322++ttxxy时当tx322max+tty时即且当21