工程力学课件-第7章-梁的强度问题

2014年6月10日第7章梁的强度问题材料力学如何设计车轮轴的横截面?如何计算火车车轮轴内的应力?一、问题的提出如何简化出火车车轮轴的计算模型?概述PDACBxFSPFQPaACDBxM纯弯曲(PureBending)——弯矩为常量，剪力为零（如图中AB段）横向弯曲(TransverseBending)—既有弯矩，又有剪力（如图中AC段和BD段）二、平面弯曲(PlaneBending)ABPaPaDCP概述mmFQM三、弯曲构件横截面上的应力mmFQmmM弯矩M剪力FQ内力切应力正应力——横截面上切向分布内力的集度——横截面上法向分布内力的集度•弯曲切应力•弯曲正应力从几何关系、物理关系平衡方程几何关系变形应变分布应力分布应力表达式物理关系和静力学关系这三方面着手，研究直梁纯弯曲时横截面上的正应力。研究思路：弯曲正应力一、纯弯曲时的弯曲正应力◇纯弯曲时的变形特征（2）各横向线相对转过了一个角度,（1）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。仍保持为直线。（3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。纯弯曲时的正应力：概述☆纯弯曲时的基本假设变形后仍为平面（2）纵向纤维间无正应力（1）平面假定(PlaneAssumption)(a)变形前为平面的横截面纵向纤维无挤压(b)仍垂直于变形后梁的轴线横截面上无切应力横截面上只有轴向正应力纯弯曲时的正应力：概述1.变形几何关系中性层(NeutralSurface)中性轴(NeutralAxis)yxz纯弯曲时的正应力：公式推导MMdMMb1b2O1O2dx'2'1bbdyxbbd2121OO'2'1OOddd)d(yy直梁纯弯曲时纵向线段的线应变与它到中性层的距离成正比。纯弯曲时的正应力：公式推导EyEy2.物理关系(Hooke定律)距离中性层为y的纵向纤维的应变结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，与它到中性层的距离成正比。即沿截面高度，弯曲正应力按线性规律变化。中性轴MyzOx纯弯曲时的正应力：公式推导3.静力平衡关系yMzMM横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系。这一力系向坐标原点O简化，得到三个内力分量。00MyE纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力dzMAAdAAzdAAyddyMMyzOxAdyzdAzdAdAdyA纯弯曲时的正应力：公式推导NFNdF0ddAzyEAzAA0dAyAzS上式表明中性轴通过横截面形心。将应力表达式代入第一式，得yE将应力表达式代入第二式，得20dAyAzM3dMAyMAz0ddNAAAyEAF纯弯曲时的正应力：公式推导)1(0dNAAF——横截面面积对z轴的静矩ZAIAyd2zIEM1yE3dMAyMAz将应力表达式代入第三式，得AAyMdAAyEd2纯弯曲时横截面上弯曲正应力的计算公式:zMyI公式应用条件：直梁纯弯曲线弹性纯弯曲时的正应力：公式推导——横截面对中性轴的惯性矩——梁的抗弯刚度zEI曲率的计算公式AyAzId2AArId2PAyzAyIzdAzAyId2图形对y轴的惯性矩图形对z轴的惯性矩图形对yz轴的惯性积图形对O点的极惯性矩与应力分析相关的截面图形几何性质AzAySd图形对于z轴的静矩AyAzSd图形对于y轴的静矩zyOyzAdA二、惯性矩1.计算公式AzAyId22.几种常见形状截面的惯性矩（1）矩形截面AzAyId2ybyhhd222123bhbhzy（2）实心圆截面6424pdIIIyz（3）空心圆截面（形心重合）)1(64)(644444DdDIIyz（4）型钢截面可从型钢表中查得。zdyzDdy（1）矩形截面123bhIzbhzyDd3、惯性矩的平行移轴公式AzAyId2ACAayd)(2AaaICz20222AbIIAaIICCyyzZ——惯性矩的平行移轴公式设图形对于形心轴的惯性矩分别为和，图形对于平行于形心轴的两轴y、z的惯性矩分别为和。CyICzIyIzIbzzayyCCAAACCAaAyaAydd2d22AbbICy202ACAyAbzAzId)(d22IIIIIzIzzIII,,12210)22035()2080(10122080123,IzI48103.105m12210)28065()8020(10128020123,IIzI48103.185m88103.185103.105zI48106.290mCIzCIIzzI?三、抗弯截面系数zIMymaxmaxmaxyIWz矩形截面实心圆截面WWMzI2123hbh62bh2h空心圆截面)1(3243DW2dzIW2644dd323d型钢可查型钢表或用组合法求Dd纯弯曲时的正应力：公式推导bhzyzdyzDdy[例1]如图所示的悬臂梁，其横截面为直径等于200mm的实心圆，试计算轴内横截面上最大正应力。分析：ＤL30kN·mM30kN·m纯弯曲WMmax解：（1）计算W332DW93102003234m109.7（2）计算max：43109.71030MPa2.38Pa102.386WMmax纯弯曲时的正应力：例题（2）比较两种情况下的重量比(面积比)：由此可见，载荷相同、max要求相等的条件下，采用空心轴节省材料。Ｄ1ｄ1Ｄ222200)6.01(2107.0[例2]在相同载荷下，将实心轴改成max相等的空心轴，空心轴内外径比为0.6。求空心轴和实心轴的重量比。解：（1）确定空心轴尺寸由WMmaxMmaxW4431109.7)6.01(32Dmm2101D实空AA22214)1(4DD纯弯曲时的正应力：例题火车车轮轴如何设计车轮轴的横截面?中间段采用空心圆截面。纯弯曲时的正应力：例题PDACBxFSPFQPaACDBxMABPaPaDC四、结论与讨论结论1.直梁发生纯弯曲变形，横截面上正应力沿横截面高度上线性分布。zIMyWMmax结论2.直梁发生纯弯曲变形，变形后梁的轴线的曲率与弯矩成正比。zIEM1MyzOx纯弯曲时的正应力：结论与讨论讨论.没有关系。yEzIMy纯弯曲时横截面上正应力大小与梁的弹性模量E有关系否？zIEM1纯弯曲时的正应力：结论与讨论讨论.试用弯曲正应力条件证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。dhb从圆木中锯出的矩形截面梁，矩形的高:宽=？才能最有效利用材料？意为矩形梁木的高:宽=3:2。“凡梁之大小，各随其广分为三分，以二分为厚。”宋•李诫《营造法式》纯弯曲时的正应力：结论与讨论解：WMmax根据正应力条件则Ｗ要尽可能大62bhW2221bhd6)(22bdb0ddbW06322bd3db32dh1:2:dh因此2:3要使max尽可能小,矩形截面要求Ｗ最大，令从而有：dhb纯弯曲时的正应力：结论与讨论如何计算AC段和BD段上应力？讨论.zIMy是从纯弯梁推得，正应力计算公式能否适用于横力弯曲？纯弯曲时的正应力：结论与讨论PDACBxFSPFQPaACDBxMABPaPaDC二、横向弯曲时的正应力横向弯曲时，横截面上有切应力平面假设不再成立此外,横向弯曲时纵向纤维无挤压假设也不成立.由弹性力学的理论，有结论：当梁的长度l与横截面的高度h的比值:hl5则用纯弯曲的正应力公式计算横向弯曲时的正应力有足够的精度。l/h5的梁称为细长梁。最大正应力横向弯曲时，弯矩是变化的。zIyMmaxmaxmax引入符号：maxyIWz则有：WMmaxmax抗弯截面系数比较拉压:AFmaxNmax例2：图示为一T形截面的悬臂梁及其横截面尺寸，在自由端作用一集中力。已知：。试求横截面上的最大拉应力和最大压应力。m2,kN5.1,m106.29048LPIzLP解：（1）作梁的弯矩图mkN3xM（2）计算最大正应力因全梁横截面的弯矩均为负值，故最大弯曲正应力必定在弯矩绝对值最大的横截面上，且最大拉应力在该截面的上边缘处，最大压应力在该截面的下边缘处。zbbIyMmaxmaxmax833106.2901035103MPa1.36zbcbcIyMmaxmaxmax833106.2901065103MPa1.67当全梁横截面的弯矩均为正值或均为负值时，且中性轴不是横截面的对称轴，则整个梁横截面上的最大拉应力和最大压应力必定在弯矩绝对值最大的横截面上。若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力和最大压应力的绝对值相等。结论：例3：图示为一T形截面的外伸梁及其横截面尺寸。已知，试求横截面上的最大拉应力和最大压应力。48106.290mIz解：（1）作梁的弯矩图最大拉应力可能发生在C截面的下边缘处和B截面的上边缘处.（2）计算最大拉应力危险截面与危险点危险截面的应力分布zsBBsIyM833106.2901035103MPa1.36MPa9.55maxCxb（3）计算最大压应力zxCCxIyM833106.2901065105.2MPa9.55xsBCyyMM,因，故最大压应力必定发生在B截面的下边缘处.zsBBsbcIyMmax833106.2901065103MPa1.67梁的正应力强度条件一、正应力强度条件梁的横截面上的最大弯曲正应力不超过材料的许用正应力，即maxmax（1）对于等截面梁，当中性轴为横截面的对称轴时，zWMmax（2）当中性轴不是横截面的对称轴，且拉、压强度不相等时，bmaxbbcmaxbc二、强度计算的三种类型1、校核强度；2、选择截面尺寸或型钢号码；3、确定许可荷载。例4：图示为一矩形截面的简支木梁，梁上作用均布荷载。已知：l=4m，b=140mm，h=210mm，。木材的许用正应力。试校核梁的强度。mkN2qMPa10解：（1）作梁的弯矩图最大弯曲正应力：232max41028181qlMmkN4mN1043（2）计算最大弯曲正应力62maxmaxmaxbhMWMz2321.014.06104Pa1088.36所以梁满足强度要求。MxMPa88.3例5：图示为一简支梁，梁上作用两个集中力。已知：l=6m，。如果梁采用热轧普通工字钢，钢的许用正应力。试选择工字钢的型号。MPa170kNPkNP21,1521解：（1）作梁的弯矩图mkN38maxDMM（2）按正应力强度条件选择工字钢型号梁所需的抗弯截面系数为maxMWz33m10224.0631017010383cm224由型钢表查得，20a号工字钢的抗弯截面系数为3cm237zW能满足强度条件，故选20a号工字钢。)(mkNMx3834CD弯曲切应力AFAQdq(x)F1F2mmFQ弯曲切应力在横截面上分布不均匀。mm一、矩形截面梁1、两个假设（1）横截面上各点弯曲切应力的方向都平行于剪力；（2）弯曲切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）。◇弯曲切应力沿截面高度的分布规律结论：矩形截面梁横截面上的弯曲切应力沿截面高度按二次抛物线规律变化。（1）当时，2hy0maxbhFQ23)4(6223yhbhFQ（2）当