函数的最值与导数

3.3.3函数的最大（小）值与导数2aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)0f'(x)0一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数函数.0)(xf)(xf设函数y=f(x)在某个区间（a,b)内可导，f(x)在这个区间内单调递增f(x)在这个区间内单调递减复习3二、函数的极值定义设函数f(x)在点x0附近有定义，•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；•如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；oxyoxy0x0x◆函数的极大值与极小值统称为极值.使函数取得极值的点x0称为极值点4三、求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数f’(x)（3）求方程f’(x)=0的根（4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况5但是在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往关心函数在指定的区间上哪个值最大，哪个值最小。这就是本小节要研究的最大（小）值。那么，函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新课引入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。6xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6观察区间[a.b]上函数y=f(x)的图像,你能找出它的极大值、极小值吗？135(),(),()fxfxfx观察图象，我们发现，是函数y=f(x)的极小值，是函数y=f(x)的极大值。246(),(),()fxfxfx7探究你能找出函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值、最小值吗？xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)8xoyax1by=f(x)x2x3x4x5x6结论一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。所以，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值。9f（x）=X（0≤x2）0（x=2）20※注意1、给定函数的区间必须是闭区间。f(x)在开区间上虽然连续，但不能保证有最大值和最小值。2、在闭区间上的每一点都必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证f(x)有最大值和最小值。10判断下列命题的真假：1.函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个；2、最大值一定是极大值；3、最大值一定大于极小值；xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)gg真假真11“最值”与“极值”的区别和联系（1）最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．（4）若连续函数在区间（a,b)内只有一个极值，则极大值就是最大值，极小值就是最小值。12x0（0,2）2（2，3）30-+41极小值-4/3因此，函数f(x)在区间[0,3]内的最大值是4，最小值是-4/3)(xf)(xf31()4033fxxx例求函数-4在，上的最大值与最小值.2()4(2)(2)fxxxx解：因为-()0=fxxx令得=2或-2(),()xfxfx则在0,3上，当变化时，的变化情况例题讲解13(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1)求函数f(x)在(a,b)内的极值（极大值或极小值）；总结注意:1.在定义域内,最值唯一;极值不唯一2.最大值一定比最小值大.14练习1、求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的最大值和最小值解:f′(x)=2x-4令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2x-1（-1,2）2（2，4）40-+83故函数f(x)在区间[-1，4]内的最大值是8，最小值是-1)(xf)(xf极小值-115练习2求函数f(x)=322-2+3,[,1]3xxxx的值域。2()3-41=31)(1)fxxxxx解：（()0=fxxx1令得=或132[,1]()03xfx对任意都有()[,1]fx2函数在上单调递减383(==327()fxfx最大最小），833,27[]所求值域为若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(a)为最小(大)值,f(b)为最大(小)值。16补充练习:1．下列说法正确的是()(A)函数的极大值就是函数的最大值(B)函数的极小值就是函数的最小值(C)函数的最值一定是极值(D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值.2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则()fx()(A)等于0(B)大于0(C)小于0(D)以上都有可能3.（2007.湖南）函数3()12fxxx,在［－3,3］上的最小值是.AD-16174.函数y=432111432xxx,在［－1,1］上的最小值为()(A)0(B)－2(C)－1(D)1213A18一.是利用函数性质二.是利用不等式三.是利用导数求函数最值的一般方法小结：19知识要点：函数的最大与最小值⑴设y=f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大最小值,可分两步进行:①求y=f(x)在区间(a,b)内的极值;②将y=f(x)在各极值点的极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。⑵若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(a)为最小(大)值,f(b)为最大(小)值。20作业P98练习P98习题3.3A组3,621