一元二次方程知识点+专题复习

1一元二次方程专题复习考点一：一元二次方程定义与解法1.定义：只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的标准形式是02cbxax)0(a。2.常用解法（1）直接开平方法：如果2x＝a(a≥0)，则x＝±a，即方程的解为1x＝a，2x＝－a.（2）公式法:如果02cbxax)040(2acba，，得aacbbx2421，aacbbx2422。（3）配方法例：用配方法解24610xx第一步，将二次项系数化为1：231024xx，（两边同除以4）第二步，移项：23124xx第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：2223313()()2444xx第四步，完全平方：235()416x第五步，直接开平方：3544x，即:15344x,25344x（4）因式分解法：若))(2nmxfexcbxax（，则02cbxax的解为efx1，mnx-2。方法总结：解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的方法求解。一般地，若方程左边是一个完全平方式，右边是一个非负数或完全平方式，就采用直接开方法；若能分解因式就用因式分解法；当以上两种方法都行不通时，可采用公式法或配方法。【课前热身】21.当a____________时，方程2310axx是一元二次方程.2.已知1x是方程220xax的一个根，则方程的另一根为__________.3.一元二次方程(1)xxx的解是_____________.4.若关于x的一元二次方程20(0)axbxca，且0abc，则方程必有一根为____________.5.用配方法解方程2420xx,则下列配方正确的是()A.2(2)2xB.2(2)2xC.2(2)2xD.2(2)6x【典型例题解析】1、关于x的一元二次方程2(1)(2)26axaxxx中，求a的取值范围.2、已知：关于x的方程226350xxmm的一个根是1，求方程的另一个根及m的值。3、用配方法解方程:2210xx【考点训练】1、关于x的一元二次方程22(1)10axxa的一个根是0，则a的值为（）A.1B.1C.1或1D.122、解方程23(121)4(121)xx的最适当的方法（）A.直接开平方法B.配方法C.因式分解法D.公式法33、若0abc，则一元二次方程20axbxc有一根是（）A.2B.1C.0D.－14、当k__________时，22(9)(5)30kxkx不是关于x的一元二次方程.5、已知方程23214xx，则代数式21283xx_____________.考点二：一元二次方程的判别式关于x的一元二次方程02cbxax(a≠0)的根的判别式为acb42，有：1．acb42＞0⇔一元二次方程02cbxax)0(a有两个不相等的实数根，即aacbbx2421，aacbbx2422。2．acb42＝0⇔一元二次方程02cbxax(a≠0)有两个相等的实数根，abxx2213．acb42＜0⇔一元二次方程02cbxax(a≠0)没有实数根。方法总结：针对这个考点，要求能根据一元二次方程20(0)axbxca根的判别式确定方程有无实根的情况。当然一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围．【课前热身】1.若关于x的一元二次方程2210xx有实数根，则m的取值范围是()A.1mB.1m且0mC.m≤1D.m≤1且0m2.一元二次方程2210xx的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根3.已知关于x的一元二次方程2410xxm.请你为m选取一个合适的整数，当m____________时，得到的方程有两个不相等的实数根；4.若关于x的方程227(21)04xkxk有两个相等的实数根，求k的取值范围。【典型考题】41.已知关于x的方程2(2)2(1)10mxmxm，当m为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.2.已知,,abc是三角形的三条边，求证：关于x的方程222222()0bxbcaxc没有实数根.【课时训练】1、一元二次方程的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2、已知关于x的一元二次方程22xmx有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.1mB.2mC.m≥0D.0m3、一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________.4、求证：关于x的方程2(21)10xkxk有两个不相等的实数根。5考点三：韦达定理韦达定理:如一元二次方程20(0)axbxca的两根为12,xx，则12bxxa，12cxxa适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(12,xx是方程两根)；（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt的两直角边求斜边等情况.注意：（1）222121212()2xxxxxx（2）22121212()()4xxxxxx；2121212()4xxxxxx（3）①方程有两正根，则1212000xxxx；②方程有两负根，则1212000xxxx；③方程有一正一负两根，则1200xx；④方程一根大于1，另一根小于1，则120(1)(1)0xx（3）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,xx为根的一元二次方程为21212()0xxxxxx;求字母系数的值时，需使二次项系数0a，同时满足≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12xx，两根之积12xx的代数式的形式，整体代入。6【课前热身】1、（1）若21,xx是方程0322xx的两根，则21xx（2）若关于x的方程032axx有一个根为-1，则另一个根为___________.2、（1）设21,xx施方程042mxx的两个根，且12121xxxx，则21xx______，m=__________.（2）、21,xx是方程04722xx的两个，则21xx__________，21xx__________________.【典型例题解析】1、（1）若关于x的方程052mxx有一个根为1，则该方程的另一个根为___________。（2）21,xx是一元二次方程0532xx的两个根，则221221xxxx的值是___________.2、已知21,xx是方程0220172xx的两个实数根，则21212018xxx_________.3、（1）已知方程04322cbxx的两个根为4和9，则b=________,c=____________.（2）设21,xx是一元二次方程0322xx的两根，求2221xx的值。（3）已知方程012pxx的两根为21,xx，其中321x，求2112xxxx的值。（4）、（1）若关于x的一元二次方程02nmxx的两个实数根分别为2和-4，则m+n的值是（）A.-10B.10C.-6D.-1（5）若α，β是方程0222xx的两个实数根，则22的值为（）A.10B.9C.8D.77第一讲一元二次方程作业一、填空题1、关于x的方程2(3)320mxx是一元二次方程，则m的取值范围是____.2、若(0)bb是关于x的方程220xcxb的根，则2bc的值为____.3、方程2310xx的根的情况是____________________.4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是.5、在实数范围内定义一种运算“”，其规则为)(baaba,根据这个规则，方程(2)50x的解为_________________.6、如果关于x的一元二次方程2210kxx有两个实数根，则k的取值范围是_____________。7、设12,xx是一元二次方程20axbxc的两个根，则代数式3322121212()()()0axxbxxcxx的值为___________.8、a是整数，已知关于x的一元二次方程01)12(2axaax只有整数根，则a=__________.二、选择题1、关于x的方程220xkxk的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定2、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（）A、B、C、D、3、若关于x的一元二次方程22(4)60xkxx没有实数根，那么k的最小整数值是（）A.1B.2C.3D.84、如果a是一元二次方程230xxm的一个根，a是一元二次方程230xxm的一个根，那么a的值是（）A、1或2B、0或3C、1或2D、0或35、设m是方程250xx的较大的一根，n是方程2320xx的较小的一根，则mn（）6、A.B.C.1D.2三、解答题1、解下列方程：2()0(0)axbca2、已知方程222(9)(34)0xkxkk有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的根。3、已知,,abc是ABC的三条边长，且方程222()210abxcx有两个相等的实数根，试判断ABC的形状。4、已知关于x的一元二次方程2223840xmxmm.（1）求证：原方程恒有两个实数根;（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取值范围.