18版：专题探究课三-高考中数列问题的热点题型(创新设计)

高考导航对近几年高考试题统计看，全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大.考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循.热点一等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为32的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝Sn－1Sn(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.解(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝a5a3＝14.又{an}不是递减数列且a1＝32，所以q＝－12.故等比数列{an}的通项公式为an＝32×－12n－1＝(－1)n－1·32n.(2)由(1)得Sn＝1－－12n＝1＋12n，n为奇数，1－12n，n为偶数，当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1Sn≤S1＝32，故0Sn－1Sn≤S1－1S1＝32－23＝56.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以34＝S2≤Sn1，故0Sn－1Sn≥S2－1S2＝34－43＝－712.综上，对于n∈N*，总有－712≤Sn－1Sn≤56.所以数列{Tn}最大项的值为56，最小项的值为－712.探究提高解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【训练1】(2017·济南模拟)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5－2a2＝25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设Tn是数列1anan＋1的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝1bk成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.解(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，∴5a1＋5×42d－2（a1＋d）＝25，（a1＋3d）2＝a1（a1＋12d），解得a1＝3，d＝2，∴an＝2n＋1.∵b1＝a1＝3，b2＝a4＝9，∴等比数列{bn}的公比q＝3，∴bn＝3n.(2)不存在.理由如下：∵1anan＋1＝1（2n＋1）（2n＋3）＝1212n＋1－12n＋3，∴Tn＝1213－15＋15－17＋…＋12n＋1－12n＋3＝1213－12n＋3，∴1－2Tk＝23＋12k＋3(k∈N*)，易知数列12k＋3为单调递减数列，∴231－2Tk≤1315，又1bk＝13k∈0，13，∴不存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝1bk成立.热点二数列的通项与求和(规范解答)数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】(满分12分)(2015·湖北卷)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d1时，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.满分解答(1)解由题意有10a1＋45d＝100，a1d＝2，即2a1＋9d＝20，a1d＝2，2分解得a1＝1，d＝2或a1＝9，d＝29.4分故an＝2n－1，bn＝2n－1或an＝19（2n＋79），bn＝9·29n－1.6分(2)解由d1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝2n－12n－1，7分于是Tn＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n－12n－1，①12Tn＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n－12n.②8分①－②可得12Tn＝2＋12＋122＋…＋12n－2－2n－12n10分＝3－2n＋32n，11分故Tn＝6－2n＋32n－1.12分❶由题意列出方程组得2分.❷解得a1与d得2分，漏解得1分.❸正确导出an，bn得2分，漏解得1分.❹写出cn得1分.❺把错位相减的两个式子，按照上下对应好，再相减，就能正确地得到结果，本题就得满分，否则就容易出错，丢掉一些分数.用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对应，然后两边同时作差.第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出Tn.【训练2】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.(1)证明：an＋2＝3an；(2)求S2n.(1)证明由条件，对任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，因而对任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1，故对一切n∈N*，an＋2＝3an.(2)解由(1)知，an≠0，所以an＋2an＝3.于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列.因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝32(3n－1).热点三数列的综合应用热点3.1数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.【例3－1】设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*).(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln2，求数列anbn的前n项和Tn.解(1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，有2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2.所以，Sn＝na1＋n（n－1）2d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，它在x轴上的截距为a2－1ln2.由题意知，a2－1ln2＝2－1ln2，解得a2＝2.所以，d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n，所以Tn＝12＋222＋323＋…＋n－12n－1＋n2n，2Tn＝11＋22＋322＋…＋n2n－1因此，2Tn－Tn＝1＋12＋122＋…＋12n－1－n2n＝2－12n－1－n2n＝2n＋1－n－22n.所以，Tn＝2n＋1－n－22n.热点3.2数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.【例3－2】在等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝Sn3·2n－1，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围.解(1)设公差为d，由题意得：a1＋d＝6，2a1＋7d＝27，解得a1＝3，d＝3，∴an＝3n.(2)∵Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝32n(n＋1)，∴Tn＝n（n＋1）2n，Tn＋1＝（n＋1）（n＋2）2n＋1，∴Tn＋1－Tn＝（n＋1）（n＋2）2n＋1－n（n＋1）2n＝（n＋1）（2－n）2n＋1，∴当n≥3时，TnTn＋1，且T1＝1T2＝T3＝32，∴Tn的最大值是32，故实数m的取值范围是32，＋∞.热点3.3数列的实际应用数列在实际问题中的应用，要充分利用题中限制条件确定数列的特征，如通项公式、前n项和公式或递推关系式，建立数列模型.【例3－3】某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1000万元.(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元.解设an为(2010＋n)年年底分红后的资金，其中n∈N*，则a1＝2×1000－500＝1500，a2＝2×1500－500＝2500，…，an＝2an－1－500(n≥2).∴an－500＝2(an－1－500)(n≥2)，故数列{an－500}是以a1－500＝1000为首项，2为公比的等比数列，∴an－500＝1000×2n－1，∴an＝1000×2n－1＋500.(1)∵a4＝1000×24－1＋500＝8500，∴该企业2014年年底分红后的资金为8500万元.(2)由an32500，即2n－132，得n6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32500万元.