数列难题突破之裂项与放缩

1裂项与放缩是高考数列题常用技巧主要有以下3类应用1．裂项法求和2．裂项、放缩证明求和不等式3．放缩证明连乘不等式裂项法求和一个最简单的裂项求和的例子1111122334(1)nn【例1】已知等差数列{}na满足：3577,26.aaa设*21(),1nnbnNa求nb的前n项和nT.【例2】设数列{}na为等差数列，且每一项都不为0，则对任意的*nN，有1223111111.nnnnaaaaaaaa裂项法求和小结回顾：1111223(1)nn1111335(21)(21)nn12231111nnaaaaaa裂项、放缩法证明求和不等式【例3】证明：2221111112123nn数列难题突破之裂项与放缩2【例4】已知数列{}na与{}nb满足1120;nnnnnbaaba*3(1),,2nnbnN且122,4aa，设21,nnkkSa求证：417.6nkkkSa和式不等式小结回顾：放缩去“凑”裂项形式12231111nnaaaaaa★连乘不等式的证明【例5】求证：1321124221nnn【例6】等比数列{}na的前n项和为nS，已知对任意的*nN，点(,)nnS均在函数xybr（0b且1,b,br均为常数）的图像上.(II)当2b时，记*22(log1)().nnbanN求证：*12121111()nnbbbnnNbbb总结：1．裂项求和：111111()kkkkaadaa★2．求和不等式：放缩可裂项3．连乘不等式：·配上“错一位”的连乘式可消去·选择“错位”方向3课后作业【习题1】求和111144797100【习题2】求证:22221111111.52.53.5(0.5)nn.【习题3】求证：3258313114732nnn.分析：考虑配上一个“错一位”的连乘式，发现还是消不掉，因此本题应当配上两个“错一位”的连乘式.答案【习题1】解：111144797100111111111()()()3143473971001133(1)3100100【习题2】分析：希望将和式放缩成可以裂项的形式，可以考虑用放缩211(0.5)(1)kkk.证：222211111.52.53.5(0.5)1111122334(1)11nnnn4【习题3】解：设2583114732nAn，369325831nBn，4710313693nCn，则31ABCn，由,,0ABC知，只需证,ABAC就有331An成立。只需要证明对任意1,2,3,kn，连乘式A中的第k项大于B和C的第k项，只需要证:3133132313kkkkkk此不等式的每项减去1，即11132313kkk，显然成立，故原不等式成立。