超定方程组的求特解

15.2求解线性方程组5.2.1齐次线性方程组的解法对于齐次线性方程组AX=0而言，可以通过求系数矩阵A的秩来判断解的情况：1、如果系数矩阵的秩=n（方程组中未知数的个数），则方程组只有零解。2、如果系数矩阵的秩n，则方程组有无穷多解。可以利用MATLAB函数null(A)，求它的一个基本解。25.2.1齐次线性方程组的解法例5-11用matlab求解方程组A=[1111-3-11;1000110;-200-10-1-2];r=rank(A);%求矩阵A的秩x=null(A,r)得到解为:x=-0.25550.0565-0.3961-0.3138-0.02150.70400.54280.09670.2218-0.1603-0.29410.79910.89150.0717-0.0151-0.23860.17520.4429-0.23530.20390.0803-0.49940.63140.1099-0.23040.15730.08790.3781x的列向量为Ax=0的一个基本解。02200376416517654321xxxxxxxxxxxxxx35.2.2非齐次线性方程组的解法对于非齐次线性方程组AX=b而言，则要根据系数矩阵A的秩和增广矩阵B=[Ab]的秩和未知数个数n的关系，才能判断方程组AX=b的解的情况。（1）如果系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=n，则方程组有唯一解。（2）如果系数矩阵的秩=增广矩阵的秩n，则方程组有无穷多解。（3）如果系数矩阵的秩增广矩阵的秩，则方程组无解。45.2.2非齐次线性方程组的解法求非齐次线性方程组（A*X=b）的通解时，需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。求非齐次线性方程组（A*X=b）的通解的步骤为：第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；第二步：求AX=b的一个特解；第三步：求AX=0的通解；第四步：AX=b的通解为：AX=0的通解加上AX=b的一个特解。55.2.2非齐次线性方程组的解法用matlab求解时，求Ax=b对应的齐次方程组Ax=0的通解，可以利用函数null；求Ax=b的特解，根据方程组中方程的个数m和未知数的个数n，可以把方程组Ax=b分为：恰定方程组（m=n），超定方程组（mn），欠定方程组（mn）。（1）m=n，恰定方程组，可以尝试计算精确解；（2）mn,超定方程组，可以尝试计算最小二乘解；（3）mn，欠定方程组，可以尝试计算含有最少m的基解。61、恰定方程组的求特解方程Ax=b（A为非奇异）x=A-1b两种方法:x=inv(A)b—采用求逆运算解方程x=A\b—采用左除运算解方程若A为奇异矩阵，则A\b给出出错信息5.2.2非齐次线性方程组的解法7恰定方程组的求特解例:x1+2x2=82x1+3x2=13322121xx138=A*x=bx=inv(A)*bx=A\bx=x=2.002.003.003.005.2.2非齐次线性方程组的解法82、超定方程组的求特解——一般求最小二乘解方程Ax=b,mn时。方程解(A'A)x=A'bx=(A'A)-1A'b——求逆法x=A\b——matlab用最小二乘法找一个准确地基本解。5.2.2非齐次线性方程组的解法9超定方程组的求特解例:x1+2x2=12x1+3x2=23x1+4x2=3解1x=a\b解2x=inv(a'a)a'bx=x=1.001.0000.00a*x=b21xx321=4332215.2.2非齐次线性方程组的解法103、欠定方程组的求特解当方程数少于未知量个数时（mn）,有无穷多个解存在。matlab可求出两个解：用除法求的解x是具有最多零元素的解基于伪逆pinv求得的是具有最小长度或范数的解。5.2.2非齐次线性方程组的解法11欠定方程组的求特解x1+2x2+3x3=12x1+3x2+4x3=2x=a\bx=pinv(a)bx=x=1.000.8300.330-0.175.2.2非齐次线性方程组的解法12例5-12求方程组的解。在Matlab中建立M文件如下clearallA=[1111-3-11;1000110;-200-10-1-2];b=[1,0,1]';%输入矩阵A,b[m,n]=size(A);R=rank(A);B=[Ab];Rr=rank(B);%formatratifR==Rr&R==n%n为未知数的个数，判断是否有唯一解x=A\b;elseifR==Rr&Rn%判断是否有无穷解x=A\b%求特解%求AX=0的基础解系,所得C为n-R列矩阵，这n-R列即为对应的基础解系。C=null(A,R)%方程组通解xx=k(p)*C(:,P)(p=1…n-R)elsedisplay(‘Nosolution’)%判断是否无解end12201376416517654321xxxxxxxxxxxxxx