直观图练习

§2直观图问题引航1.斜二测画法的规则是什么？2.画立体图形直观图的步骤是什么？1.斜二测画法的规则(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′=_____.它们确定的平面表示_________.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中________________，平行于y轴的线段，_______________.45°水平平面保持原长度不变长度为原来的122.立体图形直观图画法的四个步骤z′轴平行性及长度不变平面x′O′y′y′O′z′x′O′z′1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在直观图中x′轴与z′轴的角度为90°.()(2)空间几何体与平面图形的直观图，都没有实线与虚线之分.()(3)画立体图形的直观图时，平行于z轴的线段在直观图中要画为原来的.()12【解析】1.(1)正确.在直观图中画z′轴时要与x′轴成90°.(2)错误.平面图形的直观图全为实线，而立体图形的直观图有实线与虚线之分.(3)错误.在直观图中平行于z轴的线段在直观图中长度不变.答案：(1)√(2)×(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)在直观图中，y′轴与x′轴的角度为__________.(2)等边三角形的边长为2，若其中一边所在的直线为x′轴，则三角形这边上的高在其直观图中所对应的长度为________.(3)如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的两条线段的关系为______________.【解析】(1)在直观图中，y′轴与x′轴的角度为45°.答案：45°(2)边长为2的等边三角形的高为，在直观图中对应的长度为.答案：(3)由斜二测画法规则可知，两条线段的平行关系不变，长度仍然相等.答案：平行且相等33232【要点探究】知识点1平面图形的直观图对平面图形的直观图的三点说明(1)画出平面的一部分来表示平面.(2)用平行四边形表示平面图形的直观图.(3)用希腊字母α，β，γ等来表示平面.【微思考】(1)平面图形的直观图唯一吗？提示：不唯一，作直观图时，由于选轴不同，画出的直观图也不同.(2)原图中平行的线段，在其直观图中还平行吗？提示：平行.【即时练】判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)平面的形状是平行四边形.(2)任何一个平面图形都可以表示平面.(3)平面ABCD的面积为10cm2.【解析】(1)因为平面是无限延展的，不计大小，不计面积，平行四边形是平面的一部分，不能无限延展.故(1)错.(2)正确.(3)平面无大小之分，故错误.知识点2斜二测画法1.斜二测画法强调的两种数量关系(1)角的变化：在平面xOy中，原图形中与x轴垂直的线段，在斜二测画法中画成与x′轴成45°的线段.(2)长度的变化：原图形中与y轴平行的线段长度减半，与x轴、z轴平行的线段长度不变.2.直观图中的“变”与“不变”(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变.(2)点的共线性不变；线的共点性不变；但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化).(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化，这种变化，目的是为了使图形富有立体感.【知识拓展】斜二测画法中的建系原则在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等.【微思考】斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.【即时练】如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是()【解析】选A.根据把模型放在水平视线的左上角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及立体图形中虚线的使用知A正确.【题型示范】类型一画平面图形的直观图【典例1】(1)给出下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②三角形的直观图仍是三角形；③相等的角在直观图中仍相等；④相等的线段在直观图中仍相等，其中正确的序号是______________.(2)画水平放置的正三角形的直观图.【解题探究】1.用斜二测画法得到的直观图和原图形比较，长度，角度，平行性是否改变？2.题(2)中画正三角形的直观图时怎样建系简单？【探究提示】1.直观图和原图形比较，长度，角度可能会改变，但线段的平行性不变.2.以正三角形的任意一条边所在的直线为x轴，以该边上的高所在直线为y轴建系较简单.【自主解答】(1)由直观图的画法知角的直观图一定是角，三角形的直观图一定是三角形，相等的角在原图中的位置不同，直观图就可能不等，线段也如此，故①②正确，③④错误.答案：①②(2)画法：①在已知图形(正三角形)所在平面上建立平面直角坐标系xOy，另选一平面画直观图，先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′=45°(如图(2)所示)②在x′轴上取O′B′=OB，O′C′=OC，在y′轴上取O′A′=OA.12③连接A′B′，A′C′，所得△A′B′C′就是正三角形ABC的直观图.(如图(3))【方法技巧】画平面图形直观图的诀窍(1)在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，且与x轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度减半.(2)原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线.画端点时，过端点作与坐标轴平行的线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.(3)原图中的曲线可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑曲线连结而画出.【变式训练】用斜二测画法画出图中水平放置的图形的直观图.【解析】如图所示：①在已知图中，取O点为原点，OB与垂直OB方向分别为x轴与y轴，过A作AM⊥x轴于点M.任取一点O′，画相应x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°.②在x′轴上取O′B′=OB，O′M′=OM.过M′作M′A′∥y′轴，且M′A′=MA.③连结O′A′，A′B′并擦去辅助线(图中辅助线未略)，则△O′A′B′即是水平放置图形△OAB的直观图.12【补偿训练】如图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为__________.【解析】因为A′O′=1，所以B′C′=1，则B′到x′轴的距离为答案：121.2222类型二空间几何体的直观图【典例2】(1)在棱长为8cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中，作直观图时，棱AA1在x轴上，棱AD在y轴上，则在其直观图中，对应棱A′D′的长为________cm，棱A′A′1的长为________cm.(2)有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3cm，高为3cm，画出这个正六棱锥的直观图.【解题探究】1.题(1)中棱AA1与棱AD在直观图中将会怎样变化？2.题(2)中画直观图时应分几步去画？【探究提示】1.棱AA1的长度不变，AD的长度变为原来的一半.2.分两步画，第一步画底面正六边形的直观图，第二步画直观图的高，确定顶点.【自主解答】(1)在x轴上的线段长度不变，故A′A′1=8cm，在y轴上的线段变成原来的一半，故A′D′=4cm.答案：48(2)(ⅰ)先画出边长为3cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示.(ⅱ)过正六边形的中点O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′=3cm，画出正六棱锥的顶点V′，如图②所示.(ⅲ)连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示.(ⅳ)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示.【延伸探究】把题(2)中的“正六棱锥”改为“正四棱锥”请画出它的直观图.【解题指南】解答本题可先利用几何体的对称性建系，再利用斜二测画法画出直观图.【解析】画法：(ⅰ)画轴.画x轴、y轴、z轴，∠xOy=45°，∠xOz=90°，如图.(ⅱ)画底面.以O为中心在xOy平面内，画出边长为3cm的正方形直观图ABCD.(ⅲ)确定顶点.在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高3cm.(ⅳ)成图.顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得正四棱锥的直观图.【方法技巧】1.画空间图形的直观图的三个关注点(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取，为了增加立体感，被挡住的部分通常用虚线表示.(2)画法规则可简化为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半.(3)画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点建系画轴.2.画棱柱、棱锥的直观图的四个步骤(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系.(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面.(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.(4)成图：擦去辅助线，连线成图.【变式训练】画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1cm，2cm，高为2cm).【解题指南】先画出上、下底面(正三角形)的直观图，再画出整个正三棱台的直观图.【解析】(1)画轴，以底面△ABC的中心O为原点，OC所在直线为y轴，平行于AB的直线为x轴，使∠xOy=45°，以上底面△A′B′C′的中心O′与O的连线为z轴.(2)画出底面，在xOy平面上画△ABC的直观图，在y轴上量取OC=cm，OD=cm.过D作AB∥x轴，AB=2cm，且以D为中点，连接AC，BC，则△ABC为下底面三角形的直观图.3336(3)画上底面，在z轴上截取OO′=2cm，过O′作x′轴∥x轴，y′轴∥y轴，在y′轴上量取O′C′=cm，O′D′=cm，过D′作A′B′∥x′轴，A′B′=1cm，且以D′为中点，则△A′B′C′为上底面三角形的直观图.(4)连线成图，连接AA′，BB′，CC′，并擦去辅助线，则三棱台ABC-A′B′C′即为所要画的三棱台的直观图.36312【补偿训练】用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.【解析】画法：(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.(2)画底面，以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN=2cm；在y轴上取线段PQ，使PQ=1cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图②).【易错误区】混淆平面图形与直观图的度量关系致误【典例】(2014·南昌高一检测)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为2，则原梯形的面积为____________.2【解析】如图.由斜二测画法原理知，直观图与原图中梯形的上底与下底的长度是相同的，原梯形的高OC是直观图中O′C′的2倍，O′C′是直观图O′A′B′C′的高的倍，由此OC为直观图高的2倍.由梯形的面积公式及SO′A′B′C′=2知SOABC=2×2=8.答案：822222【常见误区】错解错因剖析在阴影处认为平面图形的高为直观图高的2倍而得原梯形的面积为4242【防范措施】严格利用规则若要找出直观图与原图的关系要严格按照画图规则画图，利用数形结合找关系，如本例中，∠A′O′C′到∠AOC的角度变化，以及O′C′到OC的长度变化.【类题试解】用斜二测画法画水平放置的边长为4的正方形的直观图，则所得