精算模型第四章

第四章集体风险模型假定单位时间内保单组合理赔的次数是一个随机变量，我们记为N，12,,,NXXX表示按次序到来的的理赔，设S表示单位时间内的总理赔额，N表示单位时间内的理赔次数，集体风险模型可以描述为12NSXXX（**）假定（1）12,,,,nXXX是独立同分布的随机变量；（2）N与{}iX独立。思考：个体风险模型与集体风险模型两者之间的关系。一、S的分布特征()((|))(())()()ESEESNENEXEXEN（1）2()((|))((|))(())(())()()()()VarSEVarSNVarESNENVarXVarNEXVarXENEXVarN（2）例：设理赔次数N服从负二项分布，11(),11rkkrPNkk已知参数2，()24VarN，个别理赔额2340.10.40.5X，求总理赔额S的均值与方差之和。解：由负二项分布的性质，()(1)VarNr，()ENr，所以()()(1)24VarNEN1()2483EN又()20.130.440.53.4EX2222()20.130.440.53.40.44VarX因此22()()()()()()()()83.43.42480.44308.16ESVarSEXENVarXENEXVarN二、S的分布方法一：直接收集S的信息，如收集一个会计年度内每月的总赔付额，然后使用建模方法去拟合S的分布。方法二：首先分开研究个体理赔额X和理赔次数N的分布的信息，再利用复合分布公式来研究S的分布。本章主要讨论方法二，常用的方法有：（－）卷积法设X的分布函数为()XFx，N的分布列为{}np。从公式(**)可以看出，S的分布是一个复合分布。由第三章的复合分布公式有120*0()(|)()()SNnnnnFxPXXXNnPNnFxp（3）将分布函数(3)两边求导得到分布密度为**00()()()()nnnnnfxfxPNnfxp（4）其中*()nFx，*()nfx为F的n重卷积，它的定义为000()10XxFxx和**(1)()()()nnXXXFxFxydFy（5）由于X是非负随机变量，因此**(1)0()()()xnnXXXFxFxydFy当理赔额的分布是离散型分布时，n重卷积变为**(1)0()()()xnnXXyFxFxyfy**(1)0()()()xnnXXyfxfxyfy例：假设有一组保单组合，在单位时间内可能发生的理赔次数为0，1，2和3，相应的概率为0.1,0.3,0.4和0.2，可能产生的理赔额为1，2，3，相应的概率为0.5,0.4和0.1，试计算理赔总量S的概率分布。解：设N表示理赔次数，C表示理赔额，则01230.10.30.40.2N1230.50.40.1C因此，由公式（3）3*0*0*1*2*3()()()0.1()0.3()0.4()0.2()nSnfxPNnfxfxfxfxfx**(1)0()()()xnnyfxfxyfy其中S的取值范围是0,1,29X。具体计算结果见下表。x*0()fx*1()fx*2()fx*3()fx()Sfx()SFx01.0－－0.10.110.5－0.150.2520.40.25？0.4730.10.40？0.2150.6854？？0.1640.84950.080.3150.0950.94460.010.1840.04080.984870.0630.01260.997480.0120.00240.999890.0010.00021例如：*212(2)(1,1)0.5*0.50.25fPXX，*3123123123(5)(2,3)(3,2)(4,1)0.40.40.10.250.260.50.315fPXXXPXXXPXXX*0*1*2*3(1)0.1(1)0.3(1)0.4(1)0.2(1)00.30.5000.15Sfffff练习：计算*2(4)f，*3(3)f，*3(4)f，(2)Sf。答案*2(4)0.26f，*3(3)0.125f，*3(4)0.3f，(2)0.22Sf。例：已知总理赔额S的分布密度函数为*302()()(0.6)(0.4)nnSXnnfxfxn其中理赔额X的分布为(1)0.5Xf，(2)0.3Xf，(3)0.2Xf，则()ES等于（）。A.1.7B.2.4C.3.4D.4.5E.5.6解：由总理赔额的密度函数知3320.60.4nnPNnn故N服从参数23,3r的负二项分布，故2ENr1013VarNr由理赔额的分布知10.520.330.21.7EX()()()21.73.4ESENEX例：设个别理赔额分布X服从指数分布，均值为，理赔次数N服从二项式分布，求S的分布。解：固定Nn，由gamma分布的可加性知，12nXXX的分布为gamma分布。因此，X的n重卷积为*(,)nXxFn由于任何gamma函数(,)nx都可以写成10(,)1!jxnjxenxj（证明参见随机过程教材（张波、张景肖著）或者SOA的Table）因此，01/1010/01/0()(,)(/)(1)!(/)1!(/)10!SnnjxnnnjjxnjnjjxjjxFxppnxeppjxepjxepxj其中，1jnnjpp，0,1,2j。由于(,)NBmp，()0PNm，因此110()()1(1)!xjmnnrpnSnjxemFxqqnj应用卷积法注意的问题1、连续分布转化为离散的分布2、计算量巨大，约为O(n3)（二）矩母函数法设()SPz表示S的母函数，()SMz表示S的矩母函数()(())SNXPzPPz（6）()()(())(())zSzSNXNXMzEePPePMz（7）例:设理赔额12,,,nXXX服从指数分布，均值为。设理赔次数N服从几何分布，参数为。求S的分布。解：Xi的矩母函数为1()00111()(1)xzxzxzxXMzeedxeedxzN的母函数为1()(1(1))NPzz由公式（7），S的矩母函数是111()(()){1[(1)1]}1(1(1))11SNXMzPMzzz第二个等式是因为1111{1[(1)1]}(1)111(1)(1)(1)(1)(1(1))1(1)(1)(1(1))1(1(1))11zzzzzzzzzz这是一个由指数分布和贝努利（0－1）分布组成的混合分布。它的分布密度和分布函数为2101()exp()0(1)(1)sxfxxx()1exp()01(1)SxFxx例：设频率N服从负二项分布，r是整数，X服从指数分布()e，求S的分布。解：负二项分布的母函数为()(1(1))rNPzz利用与上例类似的方法我们有1111()(())((1)){1[(1)1]}1(1(1))111[(1(1))1]1sNXNrrrMzPMzPzzzz这是一个复合分布，因此**()(())sNXMzPMz其中，*()(1(1))1rNPzz，这是二项分布。1()(1(1))XMzz，这是指数分布，参数为(1)。因此，1111(1)1101((1))()1()()11!jxrnnrnSnjrxeFxnj（三）递推法设个体保单损失额X取值0,1,2r，这r个值表示货币单位的整数倍，r表示最大的赔付额，r可以取值无穷。假设损失次数N属于（a,b,0）分布族,即分布列满足下面关系式1()()1,2,3,4kkbpPNkapkk定理如果N的分布属于（a,b,0）分布族，损失额X取有限个整数值0,1,2r，则总损失额的分布为1()()()()1(0)xrXSySXbyafyfxyxfxaf（8）(0)((0))SNXfPf假设N服从泊松分布，10!kkkeppkk因此a=0,b=，这时S的分布为1()()()xrSXSyfxyfyfxyx（9）((0)1)(0)((0))XfSNXfPfe（10）有兴趣的同学阅读下面的证明：＃＃＃＃＃＃＃证明：由（a,b,0）分布族的性质，我们可知11(1)()nnnnpanpabp（11）设()XPz为X的母函数，在公式（11）两边乘以1(())'()nXXPzPz，并对n求和，得到11111111(())'()(1)(())'()()(())'()nnnXXnXXnnnnXXnnpPzPzanpPzPzabpPzPz由于0()(())nSnnXPzpPz，由前面的公式得到'00()(())'()()(())'()nnSnXXnXXnnPzanpPzPzabpPzPz因此，'''()()()()()()SSXSXPzaPzPzabPzPz两边对z用级数展开，比较公式两边1xz的系数，得到001111()()()()()()()(0)()()()()()()()(0)()()()()()xrxrSXSXSyyxrxrXSXSXSyyxrxrXSXSXSyyxfxaxyfyfxyabyfyfxyaxffxaxyfyfxyabyfyfxyaxffxaxfyfxybyfyfxy因此，1()(0)()()()()xrSXSXSybyfxaffxafyfxyx，整理后可得公式（9）。由全概率公式我们有100(0)(0)()(0)()((0))SnnnXnNXfPXXPNnfPNnPf证毕。＃＃＃＃＃＃＃＃＃例设某险种的总理赔额服从复合泊松分布，平均理赔次数为0.2次，在任何一次理赔中，有80％的概率会损失5000元，有20％的概率会损失10000元。试计算保险人所面临的总理赔额的分布。解：设X为个别理赔额，则X取值为1，2两个数，货币单位为5000元，0.2，由公式（9）0.2(0)0.8187Sfee利用1()()()xrSXSyfxyfyfxyx(1)(1)(0)0.20.8exp(-0.2)=0.1309SXSfff(2)[(1)(1)2(2)(0)]0.0432292SXSXSfffff(3)[(1)(2)2(2)(1)]0.0057963SXSXSfffff如此递推下去，结果列入下表：x()Sfx()SFx00.8187310.81873110.1309970.94972820.0432290.99295730.0057960.99875640.0010970.99985350.0001280.99998160.0000180.999999例：设总理赔额S的分布列为1()[0.2(1)(2)