精算模型第五章

第五章长期风险模型主要内容盈余过程与理赔过程连续时间模型破产概率离散时间模型破产概率调节系数第一节盈余过程与理赔过程设U(t)为保险公司在t时刻的盈余；A(t)为t时刻的资产，包括保费收入、投资收入以及其他影响资金流的收入L(t)为直到t时刻的负债；U(0)=u为时刻0的初始盈余或称初始准备金。则()()-(),UtuAtLt古典盈余过程假设A(t)只包含保费收入，且按固定的比例c随时间线性增长，则在[0,t]时间内收取的保费为ct；L(t)只包含保险人的赔款支出S(t)，则()-(),UtuctSt理赔过程S(t)一、连续模型：设N(t)为[0,t]时间内的理赔次数,N(0)=0,称{N(t),t≥0}为理赔次数过程；当N(t)=n已知时，为第i次理赔变量，独立同分布，且与N(t)独立；则（0，t）时刻的理赔总量S(t)等于,1,2,...,iXin()1()NtnnStX1、理赔次数过程－Poisson过程理赔次数过程是所谓的计数随机过程的特例。定义：随机过程{N(t),t≥0}被称为计数随机过程，若：1）?取值为非负整数，且N(0)=0；2）样本轨道为阶梯形，每次增加1。(1)当t=0时，保单理赔次数为0，即N(0)=0。(2)在(t,t+dt)内理赔次数与时间长度dt有关，但与时间的起始位置t无关；(3)在(t,t+dt)内发生理赔这一事件与时刻t以前发生的理赔事件相互独立；对大多数险种来说，个体保单的理赔事故可看作是稀有事件，因此可以假定它的理赔次数过程具有如下特性：(4)在充分小的时间间隔h中，至多有一次理赔，且发生一次损失的概率于此时间区间的长度有关，而发生两次或两次以上的损失概率是h的无穷小量。即满足上述三个条件的随机过程称为泊松过程。在[0,t]内保单发生n次事故的概率为(()()1)()PNthNthoh(()()1)()PNthNtoh()(())!nttPNtnen是单位时间内发生事件的平均次数，一般称为泊松过程的强度或速率。独立增量性。平稳增量性等待时间间隔相互独立，且都服从均值为1/l的指数分布回忆：泊松过程的重要性质122110,()(),,()()nnntttNtNtNtNt对任意随机变量相互独立12121122,,,()()()()thttthNthNtNthNt对任何满足的与相互独立,具有相同分布定义：总理赔过程{S(t),t≥0}称为复合泊松过程，若：（1）计数过程{N(t),t≥0}是强度参数为l的泊松过程；（2）X1，X2……独立同分布；（3）{N(t),t≥0}与X1，X2……独立。2、复合泊松过程定义：称下面的过程{U(t),t≥0}为（连续时间）泊松盈余过程（剩余过程）：其中：1）u为初始盈余，。2）S(t)为复合泊松过程，泊松参数l，理赔额变量。3）c为单位时间内的平均保费收入。3、泊松盈余过程()()UtuctSt~()XFxS(t)tT1T1+T2T1+T2T3理赔过程S(t)是跳跃式增长的随机过程T1+T2T1T1+T2T3盈余过程U(t)1(())(())(())EUtEuctStuctEStucttp11111,lim(())lim[],lim(())lim[],lim(())0tttttifcpEUtucttpifcpEUtucttpifcpEUt，破产因此，保险公司收取的保费必须大于期望损失，即(1),cp称为安全附加因子泊松盈余过程的性质15第二节连续时间、离散时间模型的终极破产概率破产概率当保险公司盈余U(t)出现负值，我们称为破产。对盈余过程U(t)，我们考虑以下问题：1.破产发生的时刻2.有限时间内的破产概率3.终极破产概率inf{:0,()0}TttUt且(,)(|(0))utPTtUu()(|(0))lim(,)tuPTUuut破产概率的简单性质设u1u2,t1t2121212(1)(,)(,)(2)()()(3)(,)(,)(),0ututuuututuu连续时间模型的终极破产概率19定理1:在复合泊松过程下，终极破产概率(u)满足方程0'()()()()[1()]()()CuuufxuxdxFucccFxfx其中，和分别是个体理赔额的分布和密度函数，是泊松参数。方法一：微分方程20证明：由于N(t)为泊松过程，在充分小的时间内(0,dt)内至多发生一次理赔，正好发生一次理赔的概率为dt，不发生理赔的概率为1－dt。（1）若在(0,dt)内不发生理赔，在时刻dt的盈余为u+cdt，且由泊松过程关于时间起点独立性知，时刻0和时刻dt后的终极破产概率(u+cdt)一致。（2）若在(0,dt)内发生一次理赔，理赔额为x，则可以细分为在时刻dt之前破产或不破产两种情况：21（2a）不发生破产，则0≤xu+cdt。而且由泊松过程的独立增量性知，dt时刻以后的终极破产概率为(u+cdt－x)。当x取遍整个（0,u+cdt]时,则有00(|)()()()()ucdtucdtPTucdtxdFxfxucdtxdx发生一次理赔但在(0,dt)内不破产＝22（2b）发生破产，则有xu+cdt,使盈余为负。由于时刻dt后的终极破产概率(u+cdt－x)为1，因此(|)()()()11()ucdtucdtPTfxucdtxdxfxdxFucdt发生一次理赔且在(0,dt)内破产＝＝＝23从而，()()(|([(|)(|)]()(1)()[(|uPTPTPPTPTPdtucdtdtPT在(0,dt)内不发生一次理赔）在(0,dt)内不发生一次理赔）在(0,dt)内发生一次理赔但不破产发生在(0,dt)内一次理赔且破产在(0,dt)内发生一次理赔0)(|)](1)()()()(1())ucdtPTdtucdtdtfxucdtxdxdtFucdt在(0,dt)内发生一次理赔但不破产在(0,dt)内发生一次理赔且破产240()()()()()[1()]udtucdtucdtucdtfxucdtxdxFucdtccc整理得令dt－0，即证定理结论。25定理2定理2设在复合泊松过程中，个体理赔额C服从参数为a（均值为1/a）的指数分布，则终极破产概率为11()1uuea26证明：0020()1()'()()()()[1()]'()()()(1)''()'()()xxuuuxuuuxFxefxeuufxuxdxFucccuueexdxecccuueexdxcccaaaaaaaaaaa将和代入可得两边求导有()''()()'()0uuecuucaaaa将前一方程两边乘以并与第二个方程相加，得这个微分方程的通解为(/)1212(),,cuukkekka是常数27为了确定这两个常数，先注意到E(C)=1/a及cE(C)＝/a，从而有a/c。分别令u＝0和u－∞，得12(/)121(0)0lim()lim()cuuukkukkeka因此有，()00'()(0)()()()'()()()1ucuuxuueuccuueexdxecccaaaaaaa为得到（），对上式求导得与方程(1)相比较（）()()(0)ucuea28()0//(0)(0)(0)(0)11(1),1(0)1uxuuxuccucuceeeedxecceecccaaaaaaaaaaa（－）化简得注意到代入得11()1uuea所以，2911(1),1(0)11()1uccueaaa注意到代入得所以问题：0的直观含义是什么？的精算意义是什么1(0)1ca30回答：0是指初始资金为零的情况下，所收取的保费不够支付理赔的概率。对于泊松盈余过程，0仅与附加保费率有关，与理赔次数过程的泊松参数和理赔额的分布无关。31考虑“不破产”概率方法二：最大损失过程L01()()(()0,t)(()0,t)((),t)(max{()})tuPPUtPuctStPuStctPuStct不发生破产对所有的对所有的对所有的32记总理赔量超过保费部分的最大值为L,即0max{()}tLStctL又称为最大累积损失。显然事件{L≤u}等价于“破产还未发生”即1()()()LuPLuFu即生存概率的分布函数，故我们可通过L的分布函数来计算破产概率。33例1：设某保单组合的理赔在0≤t≤7这个时间段中记录如下表所示：理赔顺序12345发生时刻0.522.7546理赔额2.5107412设保险人的初始准备金u＝5，保费收入按c＝4的固定比例收取，假设保险人的经营活动到时刻6停止。试分析L的变化规律。34盈余过程请问L等于多少?35解：由于t＝0时S(0)-c0=0,S(t)-ct在任何[0,t]内最大值非负，即L≥0。又由于S(t)-ct＝-[ct-S(t)],它的变化过程与ct-S(t)反向。在U(t)的图形上，L是从起点(0,U(0))到图形的最低点的垂直距离。设Li是从第i-1个最低记录点到第i个最低记录点所下降的距离。L1是盈余首次降到u以下的距离。在本例中当第1、2、3、5次理赔发生时，各产生一个新的最低点，于是得到下表：36T0T1＝0.5T2＝2T3＝2.75T5＝6U(T)54.50.5-3.5-6.5下降距离L1=0.5L2＝4L3＝4L4＝3在U(t)的图形上，L是从起点(0,U(0))到图形的最低点的垂直距离。1234LLLLL37设N表示最低点的个数，t1t2t3…tN表示这些最低点发生的时刻，则1112112(0)()()()(())(()())(()())NNNNNuUUtUtLuUtuUtUtUtUtUtLLL根据泊松过程的平稳独立增量性，L1，L2，…是独立同分布的，其中L1为在盈余U(t)首次下降到u以下时的下降距离。因此L的分布是复合分布，只需要知道N和L1的分布，就可以确定L的分布。38L1的分布定理3：对于一个泊松盈余过程，盈余首次降至初始盈余u以下且当时盈余的负值（一般称为亏损变量deficit）的概率密度为：1111(){(),}(1)FyPuyUtuydytdyp其中t1为盈余首次低于u的时刻证明略39推论1：对于一个复合泊松过程，1(0)1证明：注意(0)直观含义是指在没有初始准备金的情况下发生破产的概率，这个概率也等于盈余首次小于初始准备金u的概率P(t1∞)。在定理3中，y是任意整数，dy为无穷小量，对y从0到∞积分，得盈余首次小于初始准备金u的概率为1011()(1())(1)()11(0).1PtFydyEC因此，注意：这个概率与u的值无关。40推论1的直观含义：即初始资金为零的情况下，所收取的保费不够支付理赔的概率。从推论1可看出，这个概率仅与附加保费率有关，与理赔次数过程的参数和理赔额的分布无关。41推论2：设L1表示盈余U(t)从初始盈余u降到第一个最低记录点的垂直距离，则L1的分布密度函数为11()(1())/LfyFyp42证明：由于L1是在盈余首次低于u的条件下的下降距离,即L1=