高中数学排列组合常用的解题方法

龙源期刊网高中数学排列组合常用的解题方法作者：张增良来源：《读与写·下旬刊》2014年第09期摘要：在高中数学教学中，解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。关键词：高中数学；排列组合；解题方法中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）18-0201-01排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，是学生学习的一个难点问题。解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。本文就高中数学中解决排列组合问题的常用方法做一简单总结：1.特殊元素和特殊位置优先法例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C13然后排首位共有C14最后排其它位置共有A34由分步计数原理得C14C13C34=288方法总结：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。2.相邻元素捆绑法例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A55A22A22=480种不同的排法方法总结：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.龙源期刊网个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A55种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A46不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有A55A46种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端4.定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．例3A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有。分析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即12A55=60种。方法总结：一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决。5.重排问题求幂法例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有76种不同的排法。方法总结：允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种6.多排问题直排法例6.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法龙源期刊网解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A24种,再排后4个位置上的特殊元素丙有A14种,其余的5人在5个位置上任意排列有A55种,则共有A24A14A55种一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研7.排列组合混合问题先选后排法例7.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C25种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有A44种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C25A44解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?8.元素相同问题隔板法例8.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C69种分法。方法总结：将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为Cm-1n-1。9.正难则反总体淘汰法例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C35,只含有1个偶数的取法有C15C25,和为偶数的取法共有C15C25+C35。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有C15C25+C35-9方法总结：解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。