二项式定理课件

第三节二项式定理1.二项式定理(1)定理(a+b)n=______________________________________.(2)通项第k+1项为：Tk+1=________.(3)二项式系数二项展开式中各项的二项式系数为：_______________.0n1n1knkknn*nnnnCaCabCabCb(nN)knkknCabknC(k0,1,2,,n)2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即增减性二项式系数当k＜_____(n∈N*)时，是递增的当k＞_____(n∈N*)时，是递减的最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项_____取得最大值mnmnnCCknCn12n12n2nC____和n12nCn12nC3.各个二项式系数的和(1)(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于__，即_____________________.(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即2n012nnnnnnCCCC2024nnnCCC____________________.135nnnCCCn12判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)是二项展开式的第k项.()(2)通项中的a与b不能互换.()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(4)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.()(5)(a+b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()knkknCabknkknCab【解析】(1)错误.由二项展开式通项的定义可知：应是二项展开式的第k+1项.(2)正确.通项中的a与b如果互换，则它将成为(b+a)n的第k+1项.(3)错误.由二项展开式中某项的系数的定义知：二项展开式中系数最大的项不一定是中间一项或中间两项，而二项式系数最大的项则为中间一项或中间两项.knkknCabknkknCab(4)正确.因为二项式(a+b)n的展开式中第k+1项的二项式系数为显然它与a,b无关.(5)正确.因为二项展开式中项的系数是由该项中非字母因数部分，包括符号构成的，一般情况下，不等于二项式系数.答案:(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√knC，1.(2＋x)9展开式的二项式系数之和为()(A)29(B)39(C)1(D)210【解析】选A.因为(a＋b)n展开式的二项式系数之和为2n，所以(2＋x)9展开式的二项式系数之和为29.2.(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是()(A)-20(B)-15(C)15(D)20【解析】选C.k＝4时，12-3k＝0，故第5项是常数项，6kkk2xxk16TC22＋＝123kkkx61C2＝，4456T1C15.＝＝3.(x+1)8的展开式中x3的系数是______(用数字作答).【解析】(x+1)8的展开式中x3的系数是答案:5658C56.4.在的展开式中，x的系数为______(用数字作答).【解析】由条件易知展开式中x的系数分别是即所求系数是3+3+1=7.答案：733331x1x1x33331x1x1x123333CCC，，，5.在(x-y)10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于_______.【解析】Tr＋1＝(-1)rx10-ryr，所以有答案：-240r10C373101010CC2C240.考向1求二项展开式中的项或项的系数【典例1】(1)(2012·天津高考)在的二项展开式中，x的系数为()(A)10(B)-10(C)40(D)-40(2)(2012·安徽高考)的展开式的常数项是()(A)-3(B)-2(C)2(D)3251(2x)x2521x2(1)x【思路点拨】(1)可利用二项展开式的通项，求x的系数.(2)先将看作是两个因式相乘的形式，根据展开式中的每一项是由每个因式各取一项相乘得到的进行分类讨论.2521x2(1)x【规范解答】(1)选D.令10-3r=1,则r=3，∴∴x的系数为-40.5rrr2rr15T1C2xxrr5r103r51C2x，3245TC2x40x,(2)选D.第一个因式取x2，第二个因式取得：第一个因式取2，第二个因式取(-1)5得：2×(-1)5=-2，∴展开式的常数项是5+(-2)=3.21x4151C15；【互动探究】在本例题(1)中，x的整式项有几项？分别是第几项？【解析】由本例题(1)的解析可知：又因为r=0,1,2,3,4,5，所以当r=0,1,2,3时，分别是x的整式项，共有4项.它们分别是第一项、第二项、第三项和第四项.5rrr2rr15T1C2xxrr5r103r51C2x，【拓展提升】求二项展开式中的项或项的系数的方法(1)展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数.解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析.(2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围.【提醒】二项展开式中各项的系数与二项式系数是不同的概念.一般地，某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与a,b的取值有关，而二项式系数与a,b的取值无关.【变式备选】已知的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是________.13n32(xx)【解析】因为的展开式中各项系数的和为128，所以令x=1，即得所有项系数和为2n=128，所以n=7.设该二项展开式中的第r+1项为令即r=3时，x5的系数为答案：3516311r3r7rrr362r177TC(x)(x)Cx.6311r56，37C35.13n32(xx)考向2二项式系数和或各项系数和【典例2】(1)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()(A)-40(B)-20(C)20(D)405a1(x)(2x)xx＋(2)(1+ax+by)n展开式中不含x的项的系数的和为243，不含y的项的系数的和为32，则a,b,n的值可能为()(A)a=2,b=-1,n=5(B)a=-2,b=-1,n=6(C)a=-1,b=2,n=6(D)a=1,b=2,n=5(3)已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a8=______.【思路点拨】(1)先由各项系数的和，求出a的值，然后求出常数项.(2)采用赋值法，依据题意分别令x=0,y=1与x=1,y=0即可得出a,b,n的值.(3)采用赋值法，先求出a0+a1+a2+a3+…+a8的值,再求出a0的值即可.【规范解答】(1)选D.对于可令x＝1得1＋a＝2，故a＝1.的展开式的通项要得到展开式的常数项，则的x与展开式中含的项相乘，的与展开式中含x的项相乘，故令5－2k＝－1得k＝3；令5-2k＝1得k＝2，从而可得常数项为5a1(x)(2x)xx＋51(2x)x5kkkk151TC2x()x＋＝＝kk5k52k5C21x－，1xx＋51(2x)x32322355C21C2140.－＋－＝1xx＋1x1x51(2x)x(2)选D.令x=0,y=1得(1+b)n=243=35；令x=1,y=0得(1+a)n=32=25，因此，a=1,b=2,n=5，故选D.(3)令x=1，则a0+a1+a2+a3+…+a8=2+22+…+28=510；令x=0，则a0=8，所以a1+a2+a3+…+a8=502.答案:502【拓展提升】赋值法的应用(1)形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可.(2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.(3)若f(x)=a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为偶数项系数之和为024f1f1aaa,2135f1f1aaa.2【变式训练】已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|等于()(A)29(B)49(C)39(D)1【解析】选B.x的奇数次方的系数都是负值，所|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…-a9.所以已知条件中只需令x=-1即可，故选B.考向3二项式定理的综合应用【典例3】(1)(2012·湖北高考)设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=()(A)0(B)1(C)11(D)12(2)1.025精确到0.01的近似值为______.(3)已知n∈N*,求证：1+2+22+23+…+25n-1能被31整除.【思路点拨】(1)把51分为52-1,再按二项式定理展开即可.(2)把1.025转化为二项式，展开后，根据精确度的要求取必要的几项即可.(3)先求和，再将和式化成含有31的二项式，展开即可证明.【规范解答】(1)选D.∵512012=(52-1)2012能被52整除，即能被13整除.若512012+a能被13整除,则a+1能被13整除,又a∈Z，且0≤a≤13，则a=12.02012120112201020112012201220122012C52C52C52C521＋＋，02012120112201020112012201220122012C52C52C52C52＋(2)1.025=(1+0.02)5=1+·0.02+·0.022+·0.023+·0.024+·0.025，∵×0.022=0.004,×0.023=8×10-5，∴当精确到0.01时，只要展开式的前三项和，1+0.10+0.004=1.104，近似值为1.10.答案：1.1015C25C35C45C55C25C35C(3)∵1+2+22+23+…+25n-1=(31+1)n-1=31n+·31n-1+·31n-2+…+·31+1-1显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.5n5nn1221321121nC2nCn1nCn11n2n1nn31(31C31C)，【互动探究】将本例题(2)中精确到0.01改为精确到0.001，如何求解?【解析】由本例(2)知，当精确到0.001时，只要取展开式的前四项的和,即1+0.10+0.004+0.00008=1.10408，所以近似值为1.104.【拓展提升】1.整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除性问题和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断.2.求近似值的基本方法利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1+x)n≈1+nx.【变式备选】若能被7整除，则x,n的值可能为()(A)x=4,n=3(B)x=4,n=4(C)x=5,n=4(D)x=6,n=5【解析】选=(1+x)n-1，当x=5,n=4时，(1+x)n-1=64-1=35×37，能被7整除，故选C.122nnnnnCxCxCx122nnnnnCxCxCx【易错误区】混淆某项的系数与二项式系数致误【典例】(2012·福建高考)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=______.【误区警示】本题易出现的错误主要有两个方面(1)误以为x3的二项式系数是x3的系数.(2)通项中字母颠倒造成失误.【规范