2019最新高等数学(下册)期末考试试题(含答案)ABJ

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1．求下列隐函数的导数或偏导数：(1)2sine0xyxy，求ddyx;(2)22lnarctanyxyx，求ddyx；(3)220xyzxyz，求,zzxy;(4)333zxyza，求22,zzxy.解：(1)[解法1]用隐函数求导公式，设F(x,y)=siny+ex-xy2,则2e,cos2,xxyFyFyxy故22deedcos2cos2xxxyFyyyxFyxyyxy.[解法2]方程两边对x求导，得2cose02xyyyxyy故2e.cos2xyyyxy(2)设22221(,)lnarctanlnarctan,2yyFxyxyxyxx∵222222121,21xxxyyFxyxyxyx222221211,21yyyxFxyxxyyx∴d.dxyFyxyxFxy(3)方程两边求全微分，得2(ddd)d2dd0,2yzxxzyxyzxyzxyz2ddd,xyzxyyzxyzxzxyzzxyxyzxyzxyz则2ddd,yzxyzxzxyzzxyxyzxyxyzxy故2,.yzxyzxzxyzzzxyxyzxyxyzxy(4)设33(,,)3Fxyzzxyza,23,3,33,xyzFyzFxzFzxy则223,33xzFzyzyzxFzxyzxy223,33yzFzxzxzyFzxyzxy22222222322232222()zzzxxxzzxyxzyzyzxyyyzxyxzxzzxxxzzxyzxyxyzzxyxyzzxy2．应用格林公式计算下列积分：(1)dd24356xyxyxy，其中L为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；(2)222ddcos2sinesin2exxLxyxyxxyxyxxy，其中L为正向星形线2223330xyaa；(3)3222dd2cos12sin3Lxyxyyxyxxy，其中L为抛物线2x=πy2上由点(0,0)到(π2,1)的一段弧；(4)22ddsinLxyxyxy，L是圆周22yxx上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；(5)ddesinecosxxLxyymyym，其中m为常数，L为由点(a,0)到(0,0)经过圆x2+y2=ax上半部分的路线（a为正数）．图11-4解：(1)L所围区域D如图11-4所示，P=2x-y+4，Q=3x+5y-6，3Qx，1Py，由格林公式得dd24356dd4dd4dd1432212LDDDxyxyxyQPxyxyxyxy(2)P=x2ycosx+2xysinx-y2ex，Q=x2sinx-2yex，则2cos2sin2exPxxxxyy，2cos2sin2exQxxxxyx．从而PQyx，由格林公式得．222ddcos2sinesin2edd0xxLDxyxyxxyxyxxyQPxyxy(3)如图11-5所示，记OA，AB，BO围成的区域为D．（其中BO=-L）图11-5P=2xy3-y2cosx，Q=1-2ysinx+3x2y2262cosPxyyxy，262cosQxyyxx由格林公式有：dddd0LOAABDQPPxQyxyxy故π21220012202ddddddddππdd12sin3243d12π4π4LOAABOAABPxQyPxQyPxQyPxQyOxyyyyyy(4)L、AB、BO及D如图11-6所示．图11-6由格林公式有ddddLABBODQPPxQyxyxy而P=x2-y，Q=-(x+sin2y)．1Py，1Qx，即，0QPxy于是dddd0LABBOLABBOPxQyPxQy从而22222211220011300ddddsinddddsinsindd1sin131sin232471sin264LLBAOBPxQyxyxyxyxyxyxyxyxyxyyxxyxyy(5)L，OA如图11-7所示．图11-7P=exsiny-my，Q=excosy-m，ecosxPymy，ecosxQyx由格林公式得：22dddddddd1π22π8LOADDDQPPxQyxyxymxymxyamma于是：220202πdddd8πd0esin00ecos08π0d8π8LOAaxxamaPxQyPxQymaxmmmaxma3．计算对坐标的曲线积分：(1)dLxyzz，Γ为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ封限；(2)222222dddLyzxzxyxyz，Γ为x2+y2+z2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分．解:(1)Γ：2221xyzyz即2221xzyz其参数方程为：cos2sin22sin2xtytztt：0→2π故：2π02π2202π202π0222dcossinsincosd2222sincosd42sin2d1621cos4d1622π16xyzztttttttttttt(2)如图11-3所示．图11-3Γ=Γ1+Γ2+Γ3．Γ1：cossin0xtytzt：0→π2，故1222222π2220π3320π320dddsinsincoscosdsincosd2sind24233yzxzxyxyztttttttttt又根据轮换对称性知1222222222222ddd3ddd4334yzxzxyxyzyzxzxyxyz4．设流速,,yxcA(c为常数)，求环流量：(1)沿圆周221,0xyz；解：2(2)沿圆周2251,0xyz.解：25．若流体流速222,,xyzA，求单位时间内穿过18球面，22210,0,0xyzxyz的流量.解：386．证明:本章关于散度的基本性质(1)~(3).解：略。7．求下列各微分方程的通解：(1)ln0xyyy;解：分离变量,得d1dlnyxyyx积分得11dlndlnyxyxlnlnlnlnyxclnycx得ecxy.1(2);1yyx解：分离变量，得dd11yxyx积分得dd11yxyx得通解：2121.yxc(3)(ee)d(ee)d0xyxxyyxy;解：分离变量，得eedd1e1eyyyxyx积分得ln(e1)ln(e1)lnyxc得通解为(e1)(e1)xyc.(4)cossindsincosd0xyxxyy;解：分离变量，得coscosdd0sinsinxyxyxy积分得lnsinlnsinlnyxc得通解为sinsin.yxc(5)yxy;解：分离变量，得ddyxxy积分得211ln2yxc得通解为2112e(e)xcycc(6)210xy;解：21yx积分得(21)dyxx得通解为2yxxc.32(7)4230xxyy;解：分离变量，得233d(42)dyyxxx积分得342yxxc即为通解.(8)exyy.解：分离变量，得ededyxyx积分得ededyxyx得通解为：eeyxc.8．指出下列各微分方程的阶数：(1)2()20;xy'yy'x一阶(2)20;xy''xy'y二阶(3)220;xy'''y''xy三阶(4)(76)d()d0.xyxxyy一阶9．已知均匀矩形板（面密度为常量ρ）的长和宽分别为b和h，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。解：取形心为原点，取两旋转轴为坐标轴，建立坐标系如图10-36所示.图10-36222322222222232222221ddddd,121ddddd.12bhhbhhxDbhbbhbyDIyxyxyybyybhIxxyxxyhxxhb10．利用球面坐标计算下列三重积分：(1)222()dxyzv，其中Ω是由球面2221xyz所围成的闭区域；(2)dzv，其中Ω由不等式2222()xyzaa,222xyz所确定.解：（1）2224()dsindddxyzvrr2ππ14000π5100dsindd142π[cos][]π.55rrr(2)积分区域Ω如图10-50所示，在球面坐标系下，Ω可表示为π02π,0,02cos4ra故2dcossindddzvrrrπ2π2cos34000π440π4540π44604sincosdd1=2πsincos(2cos)d48πsincosd18πcos67π.6adrraaaa11．在直角坐标系下计算三重积分：(1)23dddxyzxyz,其中Ω是由曲面z=xy与平面y=x,x=1和z=0所围成的闭区域；(2)3ddd1xyzxyz，其中Ω为平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的四面体；(3)2dddzxyz，Ω是两个球：x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz(R0)的公共部分；(4)dddxyzxyz,其中Ω是由x=a(a0),y=x,z=y,z=0所围成；(5)edddyxyz,其中Ω是由x2+z2-y2=1,y=0,y=2所围成；(6)sindddyxxyzx,其中Ω是由π,0,2yxyxz所围成。解：(1)积分区域Ω如图10-42所示。图10-50图10-42Ω可表示为：0100xyxzxy11232323000000411256000001120ddddddddd1dddd4411d.28364xxyxxyxyxxxyzxyzxyxyzzxxyyzzzxxyyxxyyxx(2)积分区域Ω如图10-43所示，Ω可表示为：010101xyxzxy图10-43故11133000111200011200110010ddd1ddd(1)(1)1dd2(1)11dd2(1)811d2(