2020通用版高三理数一轮复习-二项分布与正态分布

第六节二项分布与正态分布本节主要包括3个知识点：1.事件的相互独立性及条件概率；2.独立重复试验与二项分布；3.正态分布.01突破点(一)事件的相互独立性及条件概率02突破点(二)独立重复试验与二项分布04全国卷5年真题集中演练——明规律课时达标检测0503突破点(三)正态分布01突破点(一)事件的相互独立性及条件概率[基本知识]完成情况抓牢双基·自学区1．条件概率定义设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝__________________PABPAP(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互独立性定义设A，B为两个事件，如果P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立性质①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝，P(AB)＝P(A)P(B)；②如果事件A与B相互独立，那么A与B－，A－与B，A－与B－也都相互独立P(A)P(B)P(B)[基本能力]1．判断题(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．()(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(3)相互独立事件就是互斥事件．()(4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．()(5)在条件概率中，一定有P(AB)＝P(B|A)P(A)．()×√××√2．填空题(1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________．解析：根据条件概率公式P(B|A)＝PABPA，可知所求概率为0.60.75＝0.8.答案：0.8(2)某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________．解析：第一次摸出新球记为事件A，则P(A)＝35，第二次取到新球记为事件B，则P(AB)＝C26C210＝13，∴P(B|A)＝PABPA＝1335＝59.答案：59(3)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．答案：0.72[全析考法]完成情况研透高考·讲练区[例1](1)(2017·河北“五个一名校联盟”二模)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A.110B.15C.25D.12求条件概率(2)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.[解析](1)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝12，P(AB)＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是：P(B|A)＝PABPA＝1512＝25.故选C.(2)由题意可得，事件A发生的概率P(A)＝S正方形EFGHS圆O＝2×2π×12＝2π.事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)＝S△EOHS圆O＝12×12π×12＝12π.故P(B|A)＝PABPA＝12π2π＝14.[答案](1)C(2)14[方法技巧]解决条件概率问题的步骤第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．第二步，计算概率，这里有两种思路：思路一缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝nABnB计算思路二直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝PABPB计算[提醒]要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．事件的相互独立性相互独立事件概率的求法与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：事件A，B相互独立概率计算公式A，B同时发生P(AB)＝P(A)P(B)A，B同时不发生P(A－B－)＝P(A－)P(B－)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一个不发生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一个发生P＝1－P(A－B－)＝1－P(A－)P(B－)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰有一个发生P＝P(AB－＋A－B)＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)[例2](2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．[解](1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝1－12×1－13×1－14＝14，P(X＝1)＝12×1－13×1－14＋1－12×13×1－14＋1－12×1－13×14＝1124，P(X＝2)＝1－12×13×14＋12×1－13×14＋12×13×1－14＝14，P(X＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X的分布列为：X0123P14112414124随机变量X的数学期望E(X)＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.[方法技巧]求相互独立事件概率的步骤第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．此外，也可以从对立事件入手计算概率．[全练题点]1.[考点一]从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到2个数均为奇数的概率为()A.15B.14C.35D.34解析：设“取到的2个数之和为偶数”为事件A，“取到的2个数均为奇数”为事件B，则P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(AB)＝C23C25＝310.由条件概率公式得P(B|A)＝PABPA＝31025＝34.答案：D2.[考点二]两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12B.512C.14D.16解析：恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是一等品，则情形为两种，∴P＝23×1－34＋1－23×34＝512.答案：B3.[考点一]甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B.则P(A|B)＝________.解析：“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”的事件有9种，其中“抽出的学生为甲小组学生”的事件有5种，所以P(A|B)＝59.答案：59甲乙679947665432180245990914.[考点二]如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．解析：理解事件之间的关系，设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则灯亮应为事件ACB－，且A，C，B－之间彼此独立，且P(A)＝P(B－)＝P(C)＝12.所以P(AB－C)＝P(A)P(B－)P(C)＝18.答案：185.[考点二](2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD，由事件的独立性与互斥性，得P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)·P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＝34×23×34×23＋2×14×23×34×23＋34×13×34×23＝23，所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X＝0)＝14×13×14×13＝1144，P(X＝1)＝2×34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P(X＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P(X＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P(X＝4)＝2×34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512，P(X＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X的分布列为X012346P11445722514411251214所以数学期望E(X)＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.02突破点(二)独立重复试验与二项分布[基本知识]完成情况抓牢双基·自学区1．独立重复试验在条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝．2．二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝________(k＝0,1,2，…，n)．相同P(A1)P(A2)…P(An)X～B(n，p)成功概率Cknpk(1－p)n－k[基本能力]1．判断题(1)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C13·131·1－133－1＝49.()(2)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.()(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,