必修三线性相关知识点及习题有解析答案

1相关关系1．相关关系(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的________性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从________角到________角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从________角到________角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关．答案：随机左下右上左上右下两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．2．线性相关(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条________附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做_________．(2)最小二乘法：求线性回归直线方程y^＝b^x＋a^时，使得样本数据的点到它的________________最小的方法叫做最小二乘法，其中a，b的值由以下公式给出：答案：直线回归直线距离的平方和3.其中，b^是回归方程的________，a^是回归方程在y轴上的________．答案：ˆybx-斜率截距线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用．2练习：1.列变量之间的关系不是相关关系的是()A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4acB．光照时间和果树亩产量C．降雪量和交通事故发生率D．每亩田施肥量和粮食亩产量2.现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学后的第一次数学成绩y，数据如下：学号12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771请利用散点图判断这10名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系．[解析](1)在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ＝b2－4ac也就唯一确这了，因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B，C，D是相关关系．故选A.(2)两次数学考试成绩散点图如图所示，由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，具有正相关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系．3.有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童年数量，如下表：人均GDP/万元1086431患白血病的儿童数/人351312207175132180(1)画出散点图，并判定这两个变量是否具有线性相关关系；3(2)通过计算可知这两个变量的回归直线方程为＝23.25x＋102.15，假如一个城市的人均GDP为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？[解析](1)根据表中数据画散点图，如图所示，从图可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．(2)上述断言是错误的，将x＝12代入y^＝23.25x＋102.15得y^＝23.25×12＋102.15＝381.15＞380，但381.15是对该城市人均GDP为12万元的情况下所作的一个估计，该城市患白血病的儿童可能超过380人，也可能低于380人．4.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝－20.(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[答案](1)由于x＝16(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，y＝16(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.所以a^＝y－b^x＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y^＝－20x＋250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－8.25)2＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得是大值，故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．45.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数x＝2.5，y＝3.5，则由观测的数据得线性回归方程可能为()A.y^＝0.4x＋2.3B.y^＝2x－2.4C.y^＝－2x＋9.5D.y^＝－0.3x＋4.4[答案]A[解析]∵y^＝b^x＋a^，正相关则b＞0，∴排除C，D.∵过中点心(x，y)＝(3,3.5)，∴选A.6．为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是s和t，那么下列说法中正确的是()A．直线l1、l2一定有公共点(s，t)B．直线l1、l2相交，但交点不一定是(s，t)C．必有直线l1∥l2D．l1、l2必定重合[答案]A[解析]线性回归直线方程为y^＝bx＋a，而a^＝y－b^x，即a＝t－bs，t＝bs＋a，所以(s，t)在回归直线上，直线l1、l2一定有公共点(s，t)．7.调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y^＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．[答案]0.254[解析]由于y^＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．58．某单位为了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机抽查了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程y^＝b^x＋a^中b^＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为________度．[答案]68[解析]x＝18＋13＋10－14＝10，y＝24＋34＋38＋644＝40，因为回归方程一定过点(x，y)，所以y＝b^x＋a^，则a^＝y－b^x＝40＋2×10＝60.则y^＝－2x＋60，当x＝－4时，y^＝－2×(－4)＋60＝68.9．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？[解析](1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如下图所示：(2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系．6能力提升一、选择题1．根据如下样本数据得到的回归方程为y^＝bx＋a，则()3456784.02.5－0.50.5－2.0－3.0A.a＞0，b＜0B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＜0D．a＜0，b＞0[答案]A[解析]由于x增大y减小知b＜0，又x＝3时y＞0，∴a＞0，故选A.2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元[答案]B[探究]由线性回归方程的图象过样本点的中心，可求得线性回归方程，然后结合该方程对x＝6时的销售额作出估计．[解析]样本点的中心是(3.5,42)，则a^＝y－b^x＝42－9.4×3.5＝9.1，所以线性回归方程是y^＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得y^＝65.5.4．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：x1020304050y62▲758189由最小二乘法求得回归方程为y^＝0.67x＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该数据的值为()A．60B．62C．68D．68.3[答案]C[解析]由题意可得x＝30，代入回归方程得y＝75.7设看不清处的数为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.[点评]表中所给的数据只反映x与y的线性关系，并非函数关系，因而不能直接代入线性方程求预报值y^，应根据线性回归方程性质，即线性回归方程经过中心点(x，y)求解．二、填空题5．2010年4月初，广东部分地区流行手足口病，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的2010年4月1日到2010年4月12日每天广州手足口病治愈出院者数据，根据这些数据绘制散点图如图.日期123456人数100109115118121134日期789101112人数141152168175186203下列说法：①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数且有一次函数关系；③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的30%多；④后三天治愈出院的人数均超过这12天内北京市治愈出院人数的20%.其中正确的个数是________．[答案]26．改革开放30年以来，我国高等教育事业迅速发展，对某省1990～2000年考大学升学百分比按城市、县镇、农村进行统计，将1990～2000年依次编号为0～10，回归分析之后得到每年考入大学的百分比y与年份x的关系为：城市：y^＝2.84x＋9.50；县镇：y^＝2.32x＋6.67；农村：y^＝0.42x＋1.80.根据以上回归直线方程，城市、县镇、农村三个组中，________的大学入学率增长8最快．按同样的增长速度，可预测2010年，农村考入大学的百分比为________%.[答案]城市10.2[探究]增长速度可根据回归直线的斜率来判断，斜率大的增长速度快，斜率小的增长速度慢．[解析]通过题目中所提供的回归方程可判断，城市的大学入学率增长最快；2010年农村考入大学的百分比为0.42×20＋1.80＝10.2.11.某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.9（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组频率根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：（元）．考点：频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值.12.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：2,44,66,88,1010,1212,1717,2222,270.